Elektromagnetische Induktion

Grundidee und Bedeutung

Elektromagnetische Induktion, auch Faradaysche Induktion genannt, bezeichnet das Entstehen eines elektrischen Feldes bei einer Änderung der magnetischen Flussdichte. In vielen Experimenten wird die Wirkung als elektrische Spannung U(t) an den Klemmen einer Spule sichtbar. Bewegt man beispielsweise einen Permanentmagneten in eine Spule hinein oder heraus, entsteht eine messbare Spannung.

Die Induktion ist das Gegenstück zur Erzeugung eines Magnetfeldes durch elektrischen Strom. Sie wurde 1831 entdeckt und ist eine der vier Maxwellschen Gleichungen. Technisch ist sie besonders wichtig für Generatoren, Elektromotoren und Transformatoren; bei diesen Anwendungen treten stets Wechselspannungen auf.

Die durch eine Änderung des magnetischen Flusses entstehende Spannung heißt Umlaufspannung. Sie gehört zu einem elektrischen Wirbelfeld: Dessen Feldlinien können geschlossen sein oder im Unendlichen verschwinden. Dadurch unterscheidet sich die Induktionsspannung von der Spannung einer Batterie. Das Feld einer Batterie ist ein Potentialfeld; seine Feldlinien verlaufen von positiven zu negativen Ladungen und sind nicht geschlossen.

Bei Induktion ist die Spannung zwischen zwei Punkten nicht immer eindeutig. Ihr Wert kann davon abhängen, auf welchem Weg die Messleitungen zwischen den Punkten verlaufen. Deshalb muss bei einer Spannungsmessung gegebenenfalls zusätzlich der Weg angegeben werden.

Geschichte und Bezugssysteme

Als Entdecker des Induktionsgesetzes gelten Michael Faraday, Joseph Henry und Hans Christian Ørsted. Sie formulierten es 1831 unabhängig voneinander; Faraday veröffentlichte seine Ergebnisse zuerst. In seinem ersten Demonstrationsaufbau vom 29. August 1831 wickelte Faraday zwei Drähte auf gegenüberliegende Seiten eines Eisenkerns. Beim Anschließen beziehungsweise Trennen einer Batterie in einer Spule beobachtete er in der anderen Spule jeweils einen kurzen Ausschlag eines Galvanometers. Ursache war die Änderung des magnetischen Flusses.

Faraday stellte außerdem fest, dass beim schnellen Hinein- und Herausbewegen eines Permanentmagneten in eine Spule Ströme wechselnder Richtung entstehen. Die Faradayscheibe ist ein Gleichstromgenerator und wird heute als Beispiel für Bewegungsinduktion verstanden: Ursache ist die Bewegung des Leiters und der mitgeführten Ladungen im Magnetfeld. Weitere wichtige Beiträge stammen von Emil Lenz, insbesondere die Lenzsche Regel, sowie von Franz Ernst Neumann und Riccardo Felici.

Für Induktionsvorgänge mit bewegten Körpern ist das Bezugssystem entscheidend. Ein Beobachter, der eine ruhende Ladung beobachtet, misst ein elektrisches, aber kein magnetisches Feld. Bewegt er sich relativ zur Ladung, misst er zusätzlich ein Magnetfeld und veränderte elektrische Feldkomponenten. Diese Änderungen werden durch die Lorentz-Transformation beschrieben. Das Induktionsgesetz ist zusammen mit den übrigen Maxwellschen Gleichungen lorentzinvariant: Die Struktur der Gleichungen bleibt bei einem Wechsel des Bezugssystems erhalten. Elektrische und magnetische Felder erscheinen dabei als zwei Formen desselben elektromagnetischen Phänomens.

Auch bei Geschwindigkeiten v weit unterhalb der Lichtgeschwindigkeit c können solche Betrachtungen bei bewegten Leitern notwendig sein. Daher müssen alle Größen, insbesondere elektrische Feldstärke E, magnetische Flussdichte B, Fläche, Konturlinie und deren Geschwindigkeit, auf dasselbe Bezugssystem bezogen werden.

Induktionsgesetz und Flussregel

Die zentrale Größe ist der magnetische Fluss Φ durch eine orientierte Fläche A:

Φ = ∫_A B · dA.

Dabei ist B die magnetische Flussdichte, dA ein orientiertes Flächenelement und ∂A die Randlinie der Fläche. Für eine Leiterschleife ist die zeitliche Änderung des eingeschlossenen magnetischen Flusses als Spannung an den Enden messbar. Bei einer festgelegten Orientierung kann beispielsweise gelten:

U = + dΦ/dt.

Das Vorzeichen hängt sowohl von der Orientierung der Fläche als auch von der Einbaurichtung des Messgeräts ab. Kehrt man nur eine dieser Orientierungen um, wechselt das Vorzeichen; kehrt man beide um, bleibt es erhalten.

Die differentielle, also lokale Form des Induktionsgesetzes lautet:

rot E = − ∂B/∂t.

Sie besagt, dass eine zeitlich veränderliche magnetische Flussdichte elektrische Wirbel erzeugt. Die erste allgemeine Integralform lautet:

∮_∂A E · ds = − ∫_A (∂B/∂t) · dA.

Für eine bewegte Konturlinie mit lokaler Geschwindigkeit u lautet die vollständige Integralform:

∮_∂A (E + u × B) · ds = − d/dt ∫_A B · dA.

Der zusätzliche Term u × B berücksichtigt die Bewegung der Konturlinie. Die Konturlinie ist dabei eine gedachte Linie; ihre Bewegung verändert nicht selbst die Felder E und B. Sie kann sich außerdem von der Geschwindigkeit realer Körper wie Leitern oder Magneten unterscheiden. Die differentielle und die integrale Form beschreiben denselben Sachverhalt. Ihr Zusammenhang folgt mit dem Satz von Stokes; bei der Umformung wird außerdem div B = 0 verwendet.

Für eine bewegte, geschlossene Leiterschleife wird häufig die Flussregel verwendet:

Uᵢ = − Φ̇.

Sie gilt für geschlossene Umlaufwege in elektrisch leitendem, auch bewegtem Material, bei Geschwindigkeiten deutlich kleiner als der Lichtgeschwindigkeit. Die Umlaufkurve muss sich bei einer bewegten Schleife stetig und konvektiv mit dem Material entwickeln. Die Flussregel bestimmt die stromtreibende induzierte Spannung allein aus dem Magnetfeld; sie wird unter anderem auf Wicklungen von Transformatoren, Elektromotoren und Generatoren angewandt.

Für bewegte Leiter gilt als ohmsches Gesetz:

J = κ(E + v × B),

wobei κ die spezifische Leitfähigkeit und v die Geschwindigkeit des jeweiligen Leiterelements ist. Bei einem ruhenden Leiter wirkt nur E stromtreibend, bei einem bewegten Leiter die vollständige Lorentzkraft F_L = q(E + v × B).

Typische Experimente und Berechnungen

Beim Transformator erzeugt das Einschalten des Batteriestroms in der Primärwicklung kurzzeitig ein veränderliches Magnetfeld im Eisenkern. Dieses induziert in der Sekundärwicklung eine Spannung. Beim Öffnen des Primärstromkreises entsteht erneut eine Spannung, nun mit umgekehrtem Vorzeichen. Ein elektrisch leitfähiger Eisenkern kann durch induzierte Ströme erhitzt werden; geblechte Kerne verringern diese Wirbelströme.

Bei einem bewegten Leiterstab, der mit der Geschwindigkeit v auf zwei Schienen gleitet, beträgt die Spannung bei Schienenabstand L und konstantem Magnetfeld B₀:

U = L · B₀ · v.

Die von den Schienen eingeschlossene Fläche ist A = L · x, der magnetische Fluss Φ = B₀ · A. Mit v = dx/dt folgt U = dΦ/dt = B₀ · L · v. Dies heißt Bewegungsinduktion, weil nur die Bewegung des Leiters, nicht eine zeitliche Änderung der Flussdichte, die Spannung verursacht. Die Lorentzkraft auf ein Elektron lautet F_L = q(v × B₀), mit q = −1,602 · 10⁻¹⁹ C. Sie verschiebt Elektronen, bis ein elektrisches Feld entgegenwirkt. Im Gleichgewicht gilt E = −v × B₀.

Ist der Stromkreis geschlossen und besitzt er den Widerstand R, fließt ein Strom:

I = U/R = (dΦ/dt)/R = vLB₀/R.

Auf den stromdurchflossenen Leiter wirkt die Kraft F = I L B₀. Die mechanische Leistung P = vF und die elektrische Leistung P = UI sind gleich. Mechanische Arbeit wird somit in elektrische Energie umgewandelt.

Eine zweite Möglichkeit besteht darin, bei ruhendem Leiter die Flussdichte zu verändern. Wird ein Magnet unter einer Leiterschleife hindurchgeschoben, kann dieselbe Flussänderung und damit dieselbe Spannung U = B₀ · L · v entstehen wie beim bewegten Leiterstab. Die elektrischen Felder unterscheiden sich jedoch: Bei der Bewegungsinduktion liegt ein reines elektrostatisches Quellen- beziehungsweise Potentialfeld vor, bei der Flussdichteänderung ein Feld mit starken Wirbelanteilen.

Dreht sich eine Leiterschleife mit ω = 2πf in einem zeitlich konstanten Magnetfeld, gilt für die Fläche A = l₁l₂ der Fluss Φ(t) = BA cos(2πft). Daraus folgt:

U = dΦ/dt = BA(−2πf) sin(2πft).

Für eine Spule mit N Windungen wird häufig näherungsweise geschrieben:

U = dΨ/dt ≈ N · dΦ_w/dt.

Dabei ist Ψ der Fluss durch die von Spulendraht und Anschlüssen berandete Fläche und Φ_w der Fluss durch eine einzelne Windung.

Durch zeitliche Integration erhält man außerdem:

Φ_w(t) = Φ_w(0) + (1/N) · ∫₀ᵗ Uᵢ(τ) dτ.

Das Integral ist die Spannungszeitfläche, also die Fläche zwischen Spannungsverlauf und Zeitachse. Für 50 Hz und U_eff = 230 V nennt der Artikel etwa 1,05 Voltsekunden für eine Sinushalbschwingung und folglich 2,1 Voltsekunden für die vollständige betrachtete Halbschwingung. Höhere Spannung oder niedrigere Frequenz kann bei einem Transformator zur Kernsättigung führen.

Sonderfälle, Paradoxa und Anwendungen

Bei der Faradayscheibe entsteht zwischen dem Schleifkontakt am Rand und der Drehachse eine Gleichspannung. Ihre Größe hängt von magnetischer Flussdichte, Drehgeschwindigkeit ω₁ und Scheibendurchmesser ab. Dreht sich nur der Magnet, bleibt die Spannungsanzeige bei null; drehen sich Magnet und Aluminiumscheibe gemeinsam mit gleicher Geschwindigkeit, ist dagegen eine Spannung messbar. Die Spannung hängt daher nicht einfach von der Relativbewegung zwischen Magnet und Leiter ab. Das sogenannte Igelmodell, nach dem ein Leiter immer dann Spannung erzeugt, wenn er am Magneten befestigte Feldlinien schneidet, kann deshalb zu falschen Vorstellungen führen.

Ein ähnliches Problem zeigt der Versuch von Hering mit Rollkontakten. Eine gewöhnliche Leiterschleife durch den Schlitz eines zeitlich konstant magnetisierten Eisenkerns zeigt eine Spannung. Bei einer an einer Stelle aufgetrennten Schleife, deren Enden durch Metallrädchen über den elektrisch leitfähigen Kern verbunden sind, zeigt das Oszilloskop trotz gleicher Flussänderung keine Spannung. Die Auflösung besteht darin, dass im bewegten, leitfähigen Magneten selbst ein elektrisches Feld E = −v × B vorhanden ist. Die induzierte Spannung liegt dort und nicht am Oszilloskop. Eine formale Berechnung mit der vollständigen Integralform ergibt sowohl für eine ruhende als auch für eine konvektiv mitbewegte Konturlinie das gemessene Ergebnis U = 0.

Bei einer Leiterschleife darf die Kirchhoffsche Maschengleichung nicht unbesehen als Summe aller Spannungen gleich null angewandt werden. Für ruhende Stromkreise entspricht die Umlaufspannung vielmehr der Änderung des magnetischen Flusses. Das erklärt auch das Hufeisenparadoxon: Die Flussänderung kann bei einer Bewegung verborgen bleiben, wenn man nur den luftgefüllten Bereich betrachtet. Die magnetische Flussdichte ist in den Schenkeln eines Hufeisenmagneten nicht konstant; sie nimmt zum Pol hin im Innenbereich zu und im Magneten zu den Polen hin ab.

Die Abhängigkeit vom Messweg zeigt ein Fünfeck aus Widerständen mit Gesamtwiderstand 5R. Bei induzierter Spannung Uᵢ = −Φ̇ fließt I = Uᵢ/(5R). Für zwei gleich gepolte Spannungsmesser an den Punkten A und B ergeben sich U₁ = −Uᵢ/5 und U₂ = (4/5)Uᵢ; der Vergleichsumlauf erfüllt −U₁ + U₂ = Uᵢ.

Technische Anwendungen beruhen entweder auf Bewegungsinduktion oder auf der Änderung des Magnetfeldes. Dazu gehören Generatoren, Dynamos und Lichtmaschinen, Transformatoren, dynamische Mikrofone und Tonabnehmer, RFID-Tags, Drehzahlsensoren, Induktionsöfen und Induktionskochfelder, Induktionshärten, Betatrons, Induktions-Linearbeschleuniger, Induktionslampen, Induktionssender, Aufwärtswandler, Kfz-Induktionsschleifen sowie Ringschleifenanlagen für Hörgeräte.