Eulersche Winkel

Grundidee und Bedeutung

Eulersche Winkel sind drei Winkel, meist α, β, γ oder φ, θ, ψ, mit denen die Orientierung eines starren Körpers im dreidimensionalen euklidischen Raum beschrieben wird. Der Körper kann beispielsweise ein Kreisel, Fahrzeug, Schiff oder Flugzeug sein; in der Astronomie kann auch eine Bahnellipse als „Körper“ betrachtet werden. Ebenso beschreiben die Winkel die Lage eines kartesischen Koordinatensystems relativ zu einem anderen. Das am Körper befestigte System heißt körperfest, das ursprüngliche Bezugssystem raumfest.

Die Orientierung entsteht durch drei aufeinanderfolgende Drehungen um ausgewählte Koordinatenachsen. Zwei Haupttypen werden unterschieden: Bei eigentlichen Eulerwinkeln erfolgen die erste und dritte Drehung um dieselbe Achse, zum Beispiel z–x′–z″. Bei Kardan- oder Tait-Bryan-Winkeln sind alle drei Achsen verschieden, zum Beispiel x–y′–z″.

Intrinsische Drehungen erfolgen um die jeweils mitgedrehten Achsen; extrinsische Drehungen erfolgen immer um die ursprünglichen, festen Achsen. Beide Beschreibungen sind gleichwertig, wenn man bei gleichen Winkeln die Reihenfolge umkehrt. Die zusammengesetzte Drehung lässt sich als Produkt von drei elementaren Drehmatrizen darstellen. Solche Matrizen dienen sowohl zur aktiven Drehung von Vektoren als auch zur Umrechnung zwischen raumfesten und körperfesten Koordinaten.

Eigentliche Eulerwinkel und Drehfolgen

In der Standard-x-Konvention schneiden sich die ursprüngliche x-y-Ebene und die gedrehte X-Y-Ebene in der Knotenlinie N. Sie steht senkrecht auf der z- und der Z-Achse. Die Winkel sind geometrisch festgelegt:

• α, auch φ, ist der von der x-Achse in Richtung der y-Achse gemessene Winkel bis zur Knotenlinie N.

• β, auch θ, ist der Winkel zwischen der z- und der Z-Achse.

• γ, auch ψ, ist der Winkel zwischen N und der X-Achse.

Die intrinsische Standard-x-Drehfolge lautet z–x′–z″: zuerst r_z(α), dann r_x′(β) um die Knotenlinie und zuletzt r_z″(γ) um die neue Z-Achse. Damit gilt r = r_z″(γ) ∘ r_x′(β) ∘ r_z(α). Extrinsisch wird dieselbe Orientierung in umgekehrter Achsen- und Winkelreihenfolge erzeugt: r = r_z(α) ∘ r_x(β) ∘ r_z(γ), wobei zuerst die Drehung um γ ausgeführt wird. Die intrinsische Darstellung ist meist anschaulicher, die extrinsische mathematisch leichter zu behandeln.

Für eigentliche Eulerwinkel existieren sechs Achsenfolgen. Intrinsisch sind dies z–x′–z″, z–y′–z″, y–z′–y″, y–x′–y″, x–y′–x″ und x–z′–x″; extrinsisch entsprechen ihnen z–x–z, z–y–z, y–z–y, y–x–y, x–y–x und x–z–x. Die ersten beiden heißen Standard-x- beziehungsweise Standard-y-Konvention. In der klassischen Physik wird meist die Standard-x-Konvention verwendet, in der Quantenmechanik die Standard-y-Konvention, unter anderem bei Wignerschen D-Matrizen.

Dreh- und Transformationsmatrizen

Bei einer aktiven Drehung werden Punkte oder Vektoren gedreht, während das Koordinatensystem fest bleibt. Für w = r(v) gilt in Koordinaten w = Rv. Die elementaren Matrizen sind

R_x(a) = ((1,0,0),(0,cos a,−sin a),(0,sin a,cos a)), R_y(a) = ((cos a,0,sin a),(0,1,0),(−sin a,0,cos a)), R_z(a) = ((cos a,−sin a,0),(sin a,cos a,0),(0,0,1)).

Für die Standard-x-Folge ergibt sich die Abbildungsmatrix aus der extrinsischen Darstellung: R_zxz = R_z(α) R_x(β) R_z(γ). Die Reihenfolge der Matrixfaktoren ist wichtig, weil Drehungen im Allgemeinen nicht vertauschbar sind.

Dieselbe Matrix transformiert körperfeste Koordinaten in raumfeste Koordinaten: (v_x,v_y,v_z)ᵀ = R_zxz (v_X,v_Y,v_Z)ᵀ. Für die umgekehrte Transformation gilt (v_X,v_Y,v_Z)ᵀ = R_zxzᵀ (v_x,v_y,v_z)ᵀ. Die Transponierte Rᵀ ist zugleich die inverse Matrix R⁻¹, weil Drehmatrizen orthogonal sind.

Allgemein erklärt ein Basiswechsel, warum intrinsische Drehungen durch Matrizen globaler Achsendrehungen berechnet werden können. Wird nach einer Drehung A um eine mitgedrehte Achse gedreht, so lautet die transformierte zweite Matrix ÃB = ABA⁻¹. Die Gesamtdrehung wird dadurch (ABA⁻¹)A = AB. Für drei aktive intrinsische Drehungen ergibt sich entsprechend das Produkt ABC. Somit erhält man eine beliebige intrinsische Drehfolge durch einfache Multiplikation der Matrizen für globale Achsen, wobei die entsprechende extrinsische Ausführung in umgekehrter Reihenfolge erfolgt.

Kardanwinkel und Flugzeuglage

Kardan- oder Tait-Bryan-Winkel verwenden drei verschiedene Drehachsen. Auch hier gibt es sechs intrinsische Folgen: z–y′–x″, z–x′–y″, y–z′–x″, y–x′–z″, x–y′–z″ und x–z′–y″. Ihnen entsprechen extrinsisch jeweils x–y–z, y–x–z, x–z–y, z–x–y, z–y–x und y–z–x.

In Luftfahrt, Schifffahrt und Automobilbau wird die intrinsische Folge z–y′–x″ verwendet und durch Gier-, Nick- und Rollwinkel beschrieben. Sie ist für die Luftfahrt in DIN 9300 und für den Automobilbau in DIN ISO 8855 genormt:

• Der Gierwinkel ψ, auch Steuerkurs oder Azimut, dreht um die erdfeste z-Achse. Sein Hauptwertebereich ist −π < ψ ≤ π.

• Der Nickwinkel θ dreht um die mitgedrehte Knotenachse y′. Sein Hauptwertebereich ist −π/2 ≤ θ ≤ π/2.

• Der Rollwinkel φ, auch Wankwinkel, dreht um die körperfeste X-Achse. Sein Hauptwertebereich ist −π < φ ≤ π.

Alle Drehrichtungen sind mathematisch positiv. Extrinsisch entspricht dies der Folge x–y–z, also Roll–Nick–Gier. Die Transformation vom körperfesten ins raumfeste System lautet R_GNR = R_z(ψ) R_y(θ) R_x(φ), die Rücktransformation erfolgt mit R_GNRᵀ.

Ein typisches Beispiel ist die Gewichtskraft. Im erdfesten System gilt G_E = (0,0,mg)ᵀ. Im flugzeugfesten System erhält man G_F = R_GNRᵀ G_E = mg(−sin θ, sin φ cos θ, cos φ cos θ)ᵀ. Damit wirkt die Gewichtskraft bei vorhandenem Nickwinkel θ im Flugzeug auch in negative X-Richtung, also beispielsweise nach hinten.

Eigenschaften, Grenzen und Anwendungen

Die Zuordnung von Eulerwinkeln zu Drehmatrizen besitzt kritische Stellen, an denen sie nicht lokal umkehrbar ist. Diese Singularität heißt Gimbal Lock: Verschiedene Winkeltripel können dann dieselbe Orientierung darstellen, und zwei Drehachsen fallen funktional zusammen. Bei den eigentlichen Eulerwinkeln der x- oder y-Konvention tritt dies bei β beziehungsweise θ = 0 auf. Für eine Drehung um die z-Achse gibt es dann beliebig viele Darstellungen, bei denen nur die Summe α = Z + Z′ festgelegt ist. Bei den Lagewinkeln nach Luftfahrtnorm liegen die kritischen Punkte bei θ = ±π/2. Nach Kurt Magnus sind deshalb für Kreiselprobleme, in denen θ = 0 möglich ist, Kardanwinkel statt Eulerwinkel zu verwenden.

Ein weiterer Nachteil ist, dass sich zusammengesetzte Euler-Drehungen wegen der veränderlichen Achsen nicht intuitiv kombinieren lassen. Alternativen sind eine Achse-Winkel-Darstellung durch einen Vektor, dessen Richtung Drehachse und Drehsinn und dessen Betrag den Drehwinkel angibt, sowie Quaternionen, die einige dieser Schwierigkeiten umgehen.

Eulerwinkel werden in der theoretischen Physik zur Beschreibung starrer Körper und in der technischen Mechanik bei kardanischen Aufhängungen eingesetzt. Für Fahrzeuge und Flugzeuge dienen sie als Roll-, Nick- und Gierwinkel. In der Kreiseltheorie heißen entsprechende Größen Präzession, Nutation und Spin oder Eigenrotation; weitere Bezeichnungen sind Azimut, Höhenwinkel beziehungsweise Elevation und Rotation. In der Kristallographie beschreiben sie die Kreise eines Einkristalldiffraktometers und Orientierungsdichteverteilungen von Texturen. Weitere Anwendungen liegen bei astronomischen Bahnelementen, der Orientierung von Objekten in der Computergrafik sowie der theoretischen Beschreibung und Simulation von Spektren in der Festkörper-NMR.