Richtungskosinus

Bedeutung und Definition

Richtungskosinus beschreiben die räumliche Richtung eines Vektors im euklidischen Raum \mathbb{R}^3. Sie sind die Kosinuswerte der drei Richtungswinkel \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3. Jeder Richtungswinkel ist der Winkel zwischen dem Vektor \vec v und einem der drei Standardbasisvektoren \vec e_1,\vec e_2,\vec e_3, also den Koordinatenachsen.

Berechnung aus den Komponenten

Für \vec v=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix} ist sein Betrag |\vec v|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}. Die Richtungskosinus ergeben sich durch Division jeder Vektorkomponente durch den Betrag:

• \cos\alpha_1=\frac{v_1}{|\vec v|}=\frac{v_1}{\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}}
• \cos\alpha_2=\frac{v_2}{|\vec v|}=\frac{v_2}{\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}}
• \cos\alpha_3=\frac{v_3}{|\vec v|}=\frac{v_3}{\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}}

Dies folgt auch aus der Formel \cos\alpha_i=\frac{\vec v\cdot\vec e_i}{|\vec v|\,|\vec e_i|}.

Zusammenhang mit dem Einheitsvektor

Ein Vektor lässt sich aus seinem Betrag und seinen Richtungskosinus zusammensetzen: \vec v=|\vec v|\begin{pmatrix}\cos\alpha_1\\\cos\alpha_2\\\cos\alpha_3\end{pmatrix}.

Der Einheitsvektor \vec e_v ist ein Vektor der Länge 1, der in dieselbe Richtung wie \vec v zeigt. Er lautet: \vec e_v=\frac{\vec v}{|\vec v|}=\begin{pmatrix}\cos\alpha_1\\\cos\alpha_2\\\cos\alpha_3\end{pmatrix}. Die Richtungskosinus sind daher genau die Komponenten dieses Einheitsvektors.

Wichtige Beziehung und Richtungswinkel

Weil der Einheitsvektor die Länge 1 hat, gilt stets: \cos^2\alpha_1+\cos^2\alpha_2+\cos^2\alpha_3=1.

Die Richtungswinkel liegen zwischen 0 und \pi. Da der Kosinus in diesem Intervall umkehrbar ist, lassen sich die drei Richtungswinkel eindeutig aus den Richtungskosinus bestimmen.