Empirisches Quantil

Grundidee und Bedeutung

Ein empirisches p-Quantil, auch Stichprobenquantil oder kurz Quantil, ist eine Kennzahl einer Stichprobe. Für p zwischen 0 und 1 teilt es die geordneten Beobachtungen vereinfacht so, dass ein Anteil p unterhalb und ein Anteil 1−p oberhalb des Quantils liegt. Ein empirisches 0,35-Quantil einer Stichprobe von Schuhgrößen beschreibt beispielsweise eine Schuhgröße s, bei der 35 % der Schuhgrößen kleiner als s und 65 % größer als s sind.

Empirische Quantile sind von Quantilen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zu unterscheiden: Ein empirisches Quantil ist eine Kennzahl konkreter Stichprobendaten, ähnlich dem arithmetischen Mittel. Ein Quantil im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie gehört dagegen zu einer abstrakten Wahrscheinlichkeitsverteilung, ähnlich dem Erwartungswert.

Quantile zeigen die Lage von Daten innerhalb einer geordneten Stichprobe. Weil dabei vor allem die Reihenfolge der Werte zählt, sind sie gegenüber Ausreißern robust. Eine bekannte Veranschaulichung von Quantilen und Einkommensverteilungen ist die Parade der Einkommen, auch Pen’s Parade genannt, des Ökonomen Jan Pen.

Berechnung eines Quantils

Zuerst wird eine Stichprobe (x₁, x₂, …, xₙ) der Größe n aufsteigend geordnet:

x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ xₙ.

Die Abrundungsfunktion ⌊x⌋ rundet eine Zahl auf die nächste kleinere ganze Zahl ab, beispielsweise ⌊1,2⌋ = 1 und ⌊3,99⌋ = 3.

Für p ∈ (0,1) ist das empirische p-Quantil xₚ folgendermaßen definiert:

• Ist n·p ganzzahlig, gilt xₚ = ½(xₙₚ + xₙₚ₊₁). Man bildet also den Mittelwert der beiden Werte an den Positionen n·p und n·p+1.

• Ist n·p nicht ganzzahlig, gilt xₚ = x⌊n·p+1⌋. Man verwendet den Stichprobenwert an der durch ⌊n·p+1⌋ bestimmten Position.

Es gibt auch Definitionen empirischer Quantile, die von dieser Festlegung abweichen. Bei Berechnungen muss daher darauf geachtet werden, welche Definition verwendet wird.

Rechenbeispiel und Robustheit

Gegeben ist die Stichprobe aus zehn ganzen Zahlen:

82; 91; 12; 92; 63; 9; 28; 55; 96; 97.

Nach dem Sortieren erhält man:

x₁ = 9; x₂ = 12; x₃ = 28; x₄ = 55; x₅ = 63; x₆ = 82; x₇ = 91; x₈ = 92; x₉ = 96; x₁₀ = 97.

Für p = 0,5 und n = 10 ist p·n = 5 ganzzahlig. Daher gilt:

x₀,₅ = ½(x₅ + x₆) = ½(63 + 82) = 72,5.

Für p = 0,25 ist p·n nicht ganzzahlig. Aus p·n+1 = 0,25·10+1 = 3,5 folgt ⌊3,5⌋ = 3 und damit x₀,₂₅ = x₃ = 28. Entsprechend ergibt p = 0,75 den Wert p·n+1 = 8,5, also ⌊8,5⌋ = 8 und x₀,₇₅ = x₈ = 92.

Das arithmetische Mittel dieser Stichprobe beträgt x̄ = 62,5. Wird nur der größte Wert von x₁₀ = 97 auf x₁₀ = 1000 erhöht, steigt das Mittel auf x̄ = 152,8. Der Median sowie das untere und das obere Quartil bleiben dagegen unverändert, weil sich die Reihenfolge der Stichprobenwerte nicht ändert. Allgemein verändert das Ersetzen von Werten oberhalb oder unterhalb eines bestimmten Quantils durch andere Werte auf derselben Seite dieses Quantil nicht.

Besondere Quantile

Für bestimmte Werte von p haben Quantile eigene Namen. Dieselben Bezeichnungen werden teilweise auch für Quantile von Wahrscheinlichkeitsverteilungen benutzt.

• Der Median ist das 0,5-Quantil und teilt die Stichprobe in zwei Hälften. Er ist neben Modus und arithmetischem Mittel ein wichtiger Lageparameter der deskriptiven Statistik.

• Die beiden Terzile sind die Quantile für p = 1/3 und p = 2/3. Sie teilen die Stichprobe in drei gleich große Teile: unterhalb des unteren Terzils, zwischen den Terzilen und oberhalb des oberen Terzils.

• Das untere Quartil ist das 0,25-Quantil, das obere Quartil das 0,75-Quantil. Zwischen beiden liegt die mittlere Hälfte der Stichprobe; unterhalb des unteren und oberhalb des oberen Quartils liegt jeweils ein Viertel.

• Die vier Quintile gehören zu p = 0,2; 0,4; 0,6; 0,8. Unter dem ersten Quintil liegen beispielsweise 20 % und darüber 80 % der Stichprobe; unter dem zweiten liegen 40 % und darüber 60 %.

• Die neun Dezile sind die Quantile für p = 0,1; 0,2; …; 0,9. Unterhalb des ersten Dezils liegen 10 % der Stichprobe, oberhalb 90 %. Unterhalb des vierten Dezils liegen entsprechend 40 %, oberhalb 60 %.

• Perzentile sind die Quantile von 0,01 bis 0,99 in Schritten von 0,01.

Streuungsmaße, Verteilung und Darstellung

Aus Quantilen lassen sich Streuungsmaße ableiten, die beschreiben, wie weit die Daten auseinanderliegen. Der wichtigste davon ist der Interquartilabstand:

IQR := x₀,₇₅ − x₀,₂₅.

Er ist der Abstand zwischen oberem und unterem Quartil und damit die Breite des Bereichs, in dem die mittleren 50 % der Stichprobe liegen. Allgemeiner ist der Interquantilabstand für p ∈ (0; 0,5) als x₁₋ₚ − xₚ definiert. Er umfasst einen Bereich mit den mittleren 100·(1−2p) % der Stichprobe. Für p = 0,25 entsteht der Interquartilabstand. Ein weiteres abgeleitetes Streuungsmaß ist die mittlere absolute Abweichung vom Median.

Für große Stichprobenumfänge und Stichprobenvariablen mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte f ist das Stichprobenquantil asymptotisch gemäß folgender Normalverteilung verteilt:

Empirisches p-Quantil ∼ 𝒩(μ = p, σ² = p(1−p)/(n·f(xₚ)²)),

wobei p das Quantil, n der Stichprobenumfang und xₚ = F⁻¹(p) der Wert der Zufallsvariablen beim p-Quantil ist.

Quantile können in einem Box-Plot dargestellt werden. Der Kasten reicht vom unteren bis zum oberen Quartil und enthält somit die mittlere Hälfte der Stichprobe. Ein Strich im Kasten kennzeichnet den Median. An den Kasten schließen sich zwei Antennen an, deren Endpunkte nicht einheitlich definiert sind. Eine mögliche Festlegung verwendet das erste und das neunte Dezil als Begrenzungen.