Modus (Statistik)

Grundidee und Definition

Der Modus, auch Modalwert genannt, ist ein Lageparameter der deskriptiven Statistik. Er beschreibt also eine typische Lage innerhalb einer Stichprobe. Definiert ist er als der Wert beziehungsweise jede Merkmalsausprägung, die in einer Stichprobe am häufigsten vorkommt.

Ein Modus ist damit ein Gipfel der zugehörigen Häufigkeitsverteilung: Er kommt nicht seltener vor als irgendeine andere Ausprägung desselben Merkmals. Werden zum Beispiel Klausurnoten einer Klasse erhoben, dann ist der Modus die Note oder sind die Noten, die am häufigsten vergeben wurden.

Für den Modus werden unter anderem die Notationen D, x_Mod oder x_M verwendet. Anders als viele andere Lagemaße existiert der Modus schon ab Nominalskalenniveau, also auch bei rein benannten Kategorien ohne natürliche Reihenfolge. Er ist aber im Allgemeinen nicht eindeutig, weil mehrere Werte gleich häufig und zugleich am häufigsten auftreten können.

Beispiele auf verschiedenen Skalen

Bei einer Nominalskala bestehen die Werte nur aus Kategorien ohne Reihenfolge. In der Stichprobe (Zebra, Elefant, Giraffe, Zebra, Giraffe, Antilope) treten Antilope und Elefant je einmal auf, Zebra und Giraffe je zweimal. Da kein Merkmal dreimal oder öfter vorkommt, gibt es zwei Modi: D_1 = Zebra und D_2 = Giraffe.

Bei einer Ordinalskala gibt es eine Rangordnung der Ausprägungen. In der Notenstichprobe (befriedigend, sehr gut, befriedigend, gut, gut, ausreichend, mangelhaft, ungenuegend, gut) kommen sehr gut, ausreichend, mangelhaft und ungenuegend je einmal vor, befriedigend zweimal und gut dreimal. Der Modus ist daher D = gut.

Bei unklassierten kardinalskalierten Daten liegen Zahlenwerte direkt vor. In der Stichprobe (1, 1, 1, 2, 10, 11, 12, 67, 72) kommen alle Werte außer 1 nur einmal vor, die 1 aber dreimal. Deshalb ist der Modus D = 1.

Klassierte Daten

Liegen Daten klassiert vor, werden die Einzelwerte zu Klassen zusammengefasst. Der Artikel nennt zwei Möglichkeiten, den Modus zu bestimmen; dieser Abschnitt ist dort als nicht hinreichend belegt markiert.

Bei der Grobberechnung bestimmt man zuerst die Modalklasse M anhand der Häufigkeitsdichten f_i. Die Häufigkeitsdichte ist definiert als relative Häufigkeit geteilt durch Klassenbreite. Als grober Modalwert wird dann die Klassenmitte der Modalklasse verwendet.

Bei der Feinberechnung wird ebenfalls die Modalklasse M anhand der Häufigkeitsdichten f_i bestimmt. Dann gilt die Formel: D = x_M^u + ((f_M - f_(M-1)) / (2 f_M - f_(M-1) - f_(M+1))) · (x_M^o - x_M^u). Dabei ist x_M^u die untere und x_M^o die obere Klassengrenze der Modalklasse. Liegt die Modalklasse in der ersten oder letzten Klasse, werden f_(M-1) beziehungsweise f_(M+1) gleich Null gesetzt.

Im Beispiel zu Klausurpunkten ist die Klasse 30–37 die Modalklasse, weil sie mit 0,048 die größte Häufigkeitsdichte hat. Die Grobberechnung ergibt D = 33,5. Die Feinberechnung ergibt D = 30 + ((0,048 - 0,034) / (2 · 0,048 - 0,034 - 0,012)) · (37 - 30) = 31,96.

Eigenschaften und Vergleich

Der Modus ist immer definiert, aber nicht immer eindeutig. Das zeigt besonders die Nominalskala: Dort sind andere gängige Lagemaße oft nicht anwendbar, der Modus aber schon. Gleichzeitig kann es mehrere Modi geben. Im Extremfall sind alle Merkmalsausprägungen einer Stichprobe verschieden; dann kommt jede genau einmal vor und jede ist ein Modus.

Bei Stichproben mit Ordnungsstruktur kann zusätzlich der Median definiert werden. Der Median ist der mittlere Wert einer geordneten Datenreihe. Er muss nicht mit dem Modus übereinstimmen: Im Notenbeispiel ist der Median M = befriedigend, während der Modus D = gut ist.

Bei einer Kardinalskala kann zusätzlich das arithmetische Mittel berechnet werden. Auch Modus, Median und arithmetisches Mittel können deutlich auseinanderliegen. Für die Zahlenfolge 1, 1, 1, 2, 10, 11, 12, 67, 72 gilt: Modus D = 1, Median m = 10 und arithmetisches Mittel x̄ = (1 + 1 + 1 + 2 + 10 + 11 + 12 + 67 + 72) / 9 = 19,67.

Verteilungen und Neigung

Häufigkeitsverteilungen können nach der Anzahl ihrer Modi beschrieben werden. Verteilungen mit zwei oder mehr Modi heißen multimodale Verteilungen. Verteilungen mit genau zwei Modi heißen bimodal. Verteilungen mit nur einem Modus heißen unimodal.

In Beobachtungsreihen mit ordinal und metrisch skalierten Merkmalen kann der Modalwert auch als Dichtemittel bezeichnet werden. Im Vergleich mit Median und arithmetischem Mittel kann der Modus helfen, die Neigung einer Verteilung zu charakterisieren, ähnlich wie die statistische Schiefe.

Die Modus-Schiefe nach Karl Pearson ist definiert als (Arithmetisches Mittel - Modus) / Standardabweichung. Als Faustregel gilt: Bei einer rechtsschiefen, linkssteilen Häufigkeitsverteilung ist Modus < Median < arithmetisches Mittel. Bei einer linksschiefen, rechtssteilen Häufigkeitsverteilung ist Modus > Median > arithmetisches Mittel. Bei einer unimodalen symmetrischen Häufigkeitsverteilung gilt ungefähr: Modus ≈ Median ≈ arithmetisches Mittel.