Elektrisches Potential

Grundidee und Einheit

Das elektrische Potential, auch Coulomb-Potential oder Potenzial, ist eine physikalische Größe der klassischen Elektrodynamik. Es beschreibt die Fähigkeit eines elektrischen Feldes, an einer elektrischen Ladung Arbeit zu verrichten. Seine SI-Einheit ist Volt (V); als Formelzeichen werden meist \varphi, \Phi oder V verwendet.

Bewegt sich eine Probeladung q in einem elektrischen Feld, wirkt auf sie die Coulombkraft. Dadurch kann sie potentielle Energie W_{\rm pot} erhalten. Da diese Energie von der Größe der Ladung abhängt, definiert man das Potential als Energie pro Ladungseinheit:

\varphi=\frac{W_{\text{pot}}}{q}.

Für ein unveränderliches elektrisches Feld kann das Potential daher als „Energie pro Ladung“ verstanden werden. Ein elektrisches Feld ordnet jedem Raumpunkt ein Potential zu; dieses ist nur bis auf eine additive Konstante eindeutig. Betrachtet man es im gesamten Raum, spricht man von einem Potentialfeld. Entscheidend messbar ist nicht ein einzelner Potentialwert, sondern die Differenz zweier Potentiale: die elektrische Spannung.

Potential in der Elektrostatik

In der Elektrostatik, also bei zeitlich unveränderlichen Feldern, gilt für eine unbewegte Punktladung q mit potentieller Energie W_{\text{pot}}:

\varphi(\vec r)=\frac{W_{\text{pot}}(\vec r)}{q}.

Statische elektrische Felder \vec E sind wirbelfrei. Sie lassen sich deshalb als Gradient eines Skalarfeldes beschreiben. Das negative Skalarfeld heißt elektrisches Potential:

-\vec\nabla\varphi=\vec E.

Ist das Feld bekannt und wird an \vec r_0 das Nullpotential \varphi(\vec r_0)=0 festgelegt, folgt das Potential aus einem Kurvenintegral:

\varphi(\vec r)=-\int_{\vec r_0}^{\vec r}\vec E\cdot\mathrm d\vec s.

Häufig wird \varphi(\infty) als Nullpotential gewählt. Dann gilt \varphi(\vec r)=\int_{\vec r}^{\infty}\vec E\cdot\mathrm d\vec s. Im Inneren eines Leiters ist das Potential konstant, weil dort \vec E=0 ist.

Punktladung und Ladungsverteilung

Das elektrische Potential einer unbewegten Punktladung q heißt Coulomb-Potential. Im SI-Einheitensystem lautet es:

\varphi(\vec r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0|\vec r|}.

Dabei ist \varepsilon_0 die elektrische Feldkonstante und \vec r die Position des betrachteten Punktes relativ zur Punktladung. Im Heaviside-Lorentz-Einheitensystem gilt wegen \varepsilon_0=1:

\varphi(\vec r)=\frac{q}{4\pi|\vec r|}.

Für eine bekannte räumliche Ladungsverteilung \rho(\vec r) erhält man das Potential durch Aufsummieren der Beiträge aller Ladungselemente:

\varphi(\vec r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\rho(\vec r\,' )}{|\vec r-\vec r\,'|}\,\mathrm d\vec r\,'.

Poisson- und Laplace-Gleichung

Bei einer kontinuierlichen Ladungsverteilung \rho erfüllt das elektrische Potential die Poisson-Gleichung:

\Delta\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}.

\Delta=\vec\nabla^2 ist der Laplace-Operator; \vec\nabla bezeichnet den Nabla-Operator. Im leeren Raum ist \rho=0. Dann wird die Poisson-Gleichung zur Laplace-Gleichung:

\Delta\varphi=0.

Das Potential \varphi ist in diesem Fall eine harmonische Funktion.

Zeitabhängige Felder, Eichung und Messung

In der Elektrodynamik können elektrische und magnetische Felder zeitabhängig sein. Dann sind elektrische Felder im Allgemeinen nicht wirbelfrei, denn nach dem Induktionsgesetz gilt \vec\nabla\times\vec E=-\frac{\partial\vec B}{\partial t}. Deshalb kann \vec E allein nicht als Gradient eines Potentials dargestellt werden.

Mit dem magnetischen Vektorpotential \vec A, für das \vec B=\nabla\times\vec A gilt, ist jedoch \vec E+\frac{\partial\vec A}{\partial t} wirbelfrei. Das elektrische Potential wird deshalb durch

-\vec\nabla\varphi=\vec E+\frac{\partial\vec A}{\partial t}

definiert. Bei Wahl von \varphi(\infty)=0 folgt \varphi(\vec r,t)=\int_{\vec r}^{\infty}(\vec E+\frac{\partial\vec A}{\partial t})\cdot\mathrm d\vec s. Für stationäre Felder sind \frac{\partial\vec A}{\partial t}=0 und \frac{\partial\varphi}{\partial t}=0; damit gehen diese Beziehungen wieder in die der Elektrostatik über.

In der Lorenz-Eichung \vec\nabla\vec A=-\frac{1}{c^2}\frac{\partial\varphi}{\partial t} gilt die zeitabhängige Poisson-Gleichung \Delta\varphi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}. In der Coulomb-Eichung \vec\nabla\vec A=0 gilt dagegen \Delta\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}. c ist die Lichtgeschwindigkeit.

Potential und Vektorpotential sind nicht eindeutig: Durch \varphi'(\vec r,t)=\varphi(\vec r,t)-\frac{\partial}{\partial t}\Lambda(\vec r,t) und \vec A'(\vec r,t)=\vec A(\vec r,t)+\operatorname{grad}\Lambda(\vec r,t) entstehen neue Potentiale, die dieselben elektrischen und magnetischen Felder erzeugen. Diese Freiheit heißt Eichfreiheit. Auch in der Elektrostatik kann das Potential durch die freie Wahl des Nullpotentials um eine Konstante verschoben werden. Dagegen ist die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten eindeutig: Sie ist die elektrische Spannung und kann gemessen werden.