Elastizität (Wirtschaft)

Grundidee und Zweck

Eine Elastizität ist in den Wirtschaftswissenschaften ein Maß dafür, wie stark sich eine abhängige Variable relativ verändert, wenn sich eine unabhängige Variable relativ verändert. Anschaulich beantwortet sie die Frage: Um wie viel Prozent verändert sich eine Variable y, wenn sich eine andere Variable x um ein Prozent verändert? Man spricht von der Elastizität von y bezüglich x oder von der x-Elastizität von y.

Ein wichtiges Beispiel ist die Nachfrageelastizität bezüglich des Preises: Sie beschreibt, wie stark sich die Nachfrage relativ ändert, wenn sich der Preis relativ ändert. In theoretischen Untersuchungen verwendet man meist die Punktelastizität, bei der die Änderungen unendlich klein gedacht werden. In der Praxis und Empirie nutzt man oft die Bogenelastizität, weil dort endliche, tatsächlich beobachtbare Änderungen vorliegen.

Der Nutzen der Elastizität liegt darin, dass absolute Änderungen allein oft wenig aussagen. Wenn ein Preis um 1 Euro steigt und der Absatz um 10.000 Stück sinkt, ist noch unklar, ob diese Reaktion stark oder schwach ist. Entscheidend ist der Vergleich mit den Ausgangswerten: Ein Anstieg von 10 Euro auf 11 Euro ist anders zu bewerten als ein Anstieg von 100 Euro auf 101 Euro. Ebenso ist ein Absatzrückgang von 50.000 auf 40.000 Stück anders als einer von 1.000.000 auf 990.000 Stück. Da Elastizitäten relative Änderungen vergleichen und keine Einheit wie Euro oder Stück besitzen, sind sie dimensionslos und erleichtern Vergleiche.

Mathematische Definitionen

Zur Beschreibung wird eine Funktion y = f(x) betrachtet. Eine Änderung Δx der unabhängigen Variablen führt zu einer Änderung Δy der abhängigen Variablen. Die relativen Änderungen sind Δx/x und Δy/y.

Die Bogenelastizität, auch Streckenelastizität, von y bezüglich x im Intervall [x, x + Δx] ist definiert als Verhältnis der relativen Änderung von y zur relativen Änderung von x:

ε_(y,x) := (Δy/y) : (Δx/x) = (Δy/Δx) · (x/y).

Diese Definition bezieht die relativen Änderungen auf den Ausgangspunkt (x, y). Man kann sie aber auch auf den neuen Punkt (x + Δx, y + Δy) beziehen. Bei kleinen Änderungen macht das kaum einen Unterschied, bei größeren Änderungen kann es aber deutlich abweichen. Deshalb wird manchmal die Mittelwertmethode verwendet, bei der sich die Änderungen auf die Mitten der Intervalle beziehen:

ε_(y,x) := (Δy/(y + Δy/2)) : (Δx/(x + Δx/2)) = (Δy/Δx) · ((x + Δx/2)/(y + Δy/2)).

Die Punktelastizität entsteht, wenn Δx gegen 0 geht. Wenn f an der Stelle x differenzierbar ist und x ≠ 0 sowie y ≠ 0 gilt, lautet sie:

ε_(y,x) = (dy/dx) · (x/y) = y' · (x/y).

Sie beschreibt näherungsweise das Verhältnis der relativen Änderung Δy/y zur relativen Änderung Δx/x bei kleinen Änderungen. In der Praxis dient sie oft als Näherung dafür, wie stark sich y prozentual ändert, wenn x um 1 %, also Δx/x = 0,01, steigt oder fällt. Symbolisch kann man schreiben:

ε_(y,x) = (dy/y) : (dx/x).

Mit natürlichen Logarithmen ergibt sich außerdem:

ε_(y,x) = d ln y / d ln x.

Diese Beziehung gilt sogar für Logarithmen beliebiger Basis.

Partielle und rechnerische Eigenschaften

Hängt eine Größe y von mehreren Einflussgrößen ab, beschreibt man dies mit y = f(x₁, x₂, ..., xₙ). Ändert sich nur eine Variable xᵢ, während alle anderen unverändert bleiben, spricht man von einer Ceteris-paribus-Betrachtung. Die partielle Elastizität gibt dann an, wie stark y relativ reagiert, wenn sich xᵢ relativ verändert.

Für die partielle Bogenelastizität gilt:

ε_(y,xᵢ) = (Δy/y) : (Δxᵢ/xᵢ) = (Δy/Δxᵢ) · (xᵢ/y).

Ist die Funktion partiell differenzierbar, erhält man durch den Grenzübergang Δxᵢ → 0 die partielle Punktelastizität:

ε_(y,xᵢ) = (∂y/∂xᵢ) · (xᵢ/y).

Dabei bezeichnet ∂y/∂xᵢ die partielle Ableitung von y nach xᵢ. Eine partielle Ableitung misst, wie sich y verändert, wenn nur eine einzelne Einflussgröße variiert wird.

Die Elastizität ist dimensionslos und ihr Wertebereich ist die Menge der reellen Zahlen. Wichtige Rechenregeln sind:

ε_(y,x) = 1 / ε_(x,y)
ε_((y+z),x) = (y · ε_(y,x) + z · ε_(z,x)) / (y + z)
ε_((y·z),x) = ε_(y,x) + ε_(z,x)
ε_((y/z),x) = ε_(y,x) - ε_(z,x)

Ökonomische Einordnung

Ökonomisch misst die Elastizität die Reagibilität einer Funktion gegenüber einer Änderung der unabhängigen Variablen. Eine negative Elastizität bedeutet, dass die Funktion in dem betrachteten Bereich fällt: Wenn x steigt, sinkt y.

Je nach Betrag der Elastizität unterscheidet man mehrere Fälle:

ε = 0: y ist vollkommen unelastisch. y reagiert nicht auf eine Änderung von x.
0 < |ε| < 1: y ist unelastisch. y ändert sich relativ weniger stark als x.
|ε| = 1: y ist proportional elastisch. Die relative Änderung von y ist gleich der relativen Änderung von x.
|ε| > 1: y ist elastisch. y ändert sich relativ stärker als x.
|ε| → ∞: y ist vollkommen elastisch. Die relative Änderung von y ist unendlich hoch, selbst bei der kleinsten Änderung von x.

Eine Elastizität mit dem Wert 1 wird proportional elastisch oder fließend genannt. In der Literatur findet sich auch die Bezeichnung „einheitselastisch“ für eine Elastizität mit dem Absolutwert 1. Werte darunter heißen unterproportional elastisch oder unelastisch, Werte darüber überproportional elastisch oder elastisch.

Vollkommen unelastisch und vollkommen elastisch sind idealisierte Spezialfälle. Lineare Funktionen haben in der Regel an jedem Punkt eine andere Elastizität; eine Ausnahme sind Ursprungsgeraden. Funktionen, die über ihren gesamten Definitionsbereich dieselbe Elastizität haben, heißen isoelastische Funktionen.

Wichtige Arten in der Wirtschaft

In den Wirtschaftswissenschaften werden viele konkrete Elastizitäten verwendet. Preiselastizitäten untersuchen, welchen Einfluss Preisänderungen auf Angebot und Nachfrage haben. Kreuzpreiselastizitäten messen, wie Preisänderungen bei einem Gut Angebot oder Nachfrage bei anderen Gütern beeinflussen. Dynamische Preiselastizitäten fragen danach, welchen Einfluss eine gegenwärtige Preisänderung auf den zukünftigen Absatz hat. Einkommenselastizitäten messen, wie Einkommensänderungen die Nachfrage nach einem Gut verändern. Absatzwertelastizitäten beziehen Marketingaufwände auf die Nachfrage nach einem Gut.

Bei Preis- und Kreuzpreiselastizitäten unterscheidet man außerdem, ob Angebot oder Nachfrage die abhängige Variable ist. Die direkte Preiselastizität des Angebots gibt an, wie stark das Angebot eines Gutes auf Veränderungen seines eigenen Preises reagiert. Die direkte Preiselastizität der Nachfrage gibt an, wie stark die Nachfrage nach einem Gut auf Veränderungen seines eigenen Preises reagiert. Die Kreuzpreiselastizität des Angebots beschreibt die Reaktion des Angebots eines Gutes auf Preisänderungen bei einem Konkurrenzprodukt. Die Kreuzpreiselastizität der Nachfrage beschreibt die Reaktion der Nachfrage nach einem Gut auf Preisänderungen eines anderen Produkts. Die Einkommenselastizität der Nachfrage gibt an, wie stark die Nachfrage nach einem Gut auf Einkommensänderungen reagiert.

Das Konzept lässt sich in der Betriebswirtschaft auch auf andere unabhängige Variablen übertragen, etwa Werbemitteleinsatz, Werbeintensität, Änderung der Preisoptik, Änderung der Platzierung, Einführung einer Doppelplatzierung oder andere handelspsychologische Maßnahmen. Für Handelsbetriebe werden unter anderem Serviceelastizität, Verkaufsflächenelastizität, Frontstreckenelastizität und Platzierungselastizität genannt.

Weitere ökonomische Elastizitäten sind die Substitutionselastizität, die angibt, wie leicht ein Produktionsfaktor durch einen anderen ersetzt werden kann; die Skalenelastizität, die die Outputsteigerung bei Ausweitung der Inputs misst; die Steuerbetragselastizität, die die Reaktion des Steueraufkommens auf eine Veränderung der Bemessungsgrundlage erfasst; die Zinselastizität, die die Reaktion einer Zinsposition auf eine relative Änderung des Zinssatzes beschreibt; die Produktionselastizität, die die Outputänderung bei Erhöhung eines Produktionsfaktors um ein Prozent näherungsweise angibt; und die Kostenelastizität, die die Kostenänderung bei einer Erhöhung der Ausbringungsmenge um ein Prozent näherungsweise angibt.

Typische Beispiele

Ein Beispiel für eine isoelastische Funktion ist y = 1/x mit x > 0 und y > 0. Ihre Elastizität ist überall gleich:

ε_(y,x) = y' · (x/y) = -(1/x²) · (x/(1/x)) = -1.

Als Preis-Absatz-Funktion interpretiert bedeutet dies: Die Nachfrage fällt um 1 %, wenn der Preis um 1 % steigt. Die Funktion ist damit isoelastisch und einheitselastisch. Auch eine Ursprungsgerade y = ax hat die Elastizität ε = 1; als Anwendung wird die Umsatzfunktion eines Polypolisten genannt, der seine Produkte zum Marktpreis a verkauft.

Ein Beispiel für eine lineare Funktion ist y = f(x) = x + 100. Bei x = 100 gilt y = 200. Wird x um 1 % erhöht, also von 100 auf 101, steigt y von 200 auf 201. Das ist absolut +1 und relativ 0,5 %. Die Elastizität beträgt also 0,5.

Für eine Gerade y = a + bx lautet die Elastizitätsfunktion:

ε = (dy/dx) · (x/y) = y' · (x/y) = b · (x/(a + bx)).

Im Beispiel ergibt sich bei x = 100:

ε = 1 · (100/200) = 0,5.

Bei x = 200 gilt y = 300. Eine Erhöhung von x um 1 % bedeutet eine Erhöhung um 2 auf x = 202; y steigt dann auf 302. Die prozentuale Änderung von y ist 2/300 ≈ 0,00667, also 0,667 %. Die Elastizitätsfunktion liefert entsprechend:

ε = 1 · (200/300) ≈ 0,667.

Das zeigt, dass eine Gerade, die nicht durch den Koordinatenursprung geht, an verschiedenen Stellen unterschiedliche Elastizitäten haben kann.