Durchbiegung

Grundidee und Bedeutung

Durchbiegung bedeutet bei länglichen Gegenständen wie Balken oder Stäben den Versatz zwischen der unbelasteten und der belasteten Lage. Sie entsteht bei einer Biegebelastung quer zur Längsachse. In einer Zeichnung der Biegelinie ist die Durchbiegung an einer bestimmten Stelle der Abstand zwischen der ursprünglichen geraden Lage und der verformten Linie.

Bei linear-elastischer Verformung, also wenn das Material nach Entlastung wieder in seine Ausgangsform zurückkehrt und sich proportional zur Belastung verhält, kann die Durchbiegung mit der Balkentheorie berechnet werden. Die Biegelinie wird als Funktion w(x) beschrieben. Die örtliche Durchbiegung an einer Stelle x1 ist dann w1 beziehungsweise w(x1). Für technische Bauteile ist diese Größe wichtig, weil sie zeigt, wie stark sich ein Bauteil unter Last verformt.

Berechnung bei Balken

Für Balken wird die Durchbiegung über die Krümmung der Biegelinie bestimmt. Dabei werden y und z als Hauptträgheitsachsen angenommen: y liegt horizontal nach hinten, z vertikal. Die Krümmung in y-Richtung an der Stelle x lautet allgemein

κy(x) = - (d²w(x)/dx²) / (1 + (dw(x)/dx)²)^1,5 ≈ - d²w(x)/dx² = -w''(x).

Die Näherung gilt besonders bei kleinen Steigungswinkeln, also wenn w' ungefähr 0 ist. Dann kann die Krümmung mit der zweiten Ableitung der Biegelinie beschrieben werden.

Allgemein setzt sich w''(x) aus mehreren Anteilen zusammen:

w''(x) = wb''(x) + we''(x) + ws''(x) = -κyb(x) - κye(x) + dγ(x)/dx.

κyb(x) ist die Krümmung durch Biegung. Sie ergibt sich aus κyb(x) = My(x)/(E Iyy(x)). My ist das Biegemoment quer zur Stabrichtung an der Stelle x. E Iyy(x) ist die Biegesteifigkeit, also E · Iyy(x). E ist der Elastizitätsmodul, ein Materialkennwert; im inelastischen oder nichtlinearen Bereich, zum Beispiel bei Beton oder Elastomerlagern, muss er durch einen geeigneten Sekantenmodul ersetzt werden. I ist das Flächenträgheitsmoment des Balkenquerschnitts und beschreibt eine geometrische Eigenschaft des Querschnitts.

Zusätzlich kann eine eingeprägte Krümmung κye(x) auftreten, zum Beispiel durch Temperaturdifferenzen. Auch Schubdeformation kann beitragen: γ(x) = V(x)/(G A(x)). V ist die Querkraft, G A(x) die Schubsteifigkeit, G der Schubmodul und A die Querschnittsfläche in der yz-Ebene.

Näherungsformel und Integration

Für ein hinreichend elastisches, schlankes Bauteil mit konstantem Querschnitt wird oft eine vereinfachte Formel verwendet. Sie gilt bei kleinen Steigungswinkeln w' ≈ 0 und bei ausschließlicher Momentenbelastung, also wenn V = 0 und damit γ = 0:

κy(x) = -w''(x) ≈ My(x)/(E · Iy).

Die gesuchte Durchbiegung w erhält man, indem man die Krümmung zweimal integriert. Dabei müssen Rand- und Übergangsbedingungen beachtet werden. Eine typische Randbedingung ist, dass an den Lagerstellen keine Durchbiegung auftritt, also w(x=0) = w(x=L) = 0.

Damit gilt:

w(x) = -∫∫ κy(x) dx ≈ -∫∫ My(x)/(E · Iy) dx.

Das bedeutet: Zuerst wird aus der Belastung der Momentenverlauf My(x) bestimmt. Daraus folgt über die Biegesteifigkeit die Krümmung. Durch zweimaliges Integrieren und Einsetzen der Randbedingungen entsteht die Biegelinie w(x), aus der man die Durchbiegung an jeder Stelle ablesen kann.

Typische Beispiele bei Balken

Ein wichtiges Beispiel ist ein Balken auf zwei Stützen mit einer mittig angreifenden Kraft F. Die Kraft wirkt bei der halben Stablänge l/2. Bei konstanten Querschnittseigenschaften sind Biegemoment und Stabkrümmung in der Mitte am größten. Deshalb liegt dort auch die maximale Durchbiegung:

wmax = w(x = l/2).

Für 0 ≤ x ≤ l/2 gilt bei Vernachlässigung der Schubverformungen, also GA = ∞:

My(x) = (F/2) · x, w''(x) = -((F/2) · x)/(E I).

Mit der Randbedingung w(x=0)=0 und der Übergangsbedingung w'(x=l/2)=0 ergibt sich:

w(x) = -F x³/(12 E I) + F l² x/(16 E I).

Die maximale Durchbiegung ist:

wmax = F l³/(48 E I).

Ein zweites Beispiel ist ein Balken auf zwei Stützen mit konstanter Liniengleichlast q0 in N/m. Auch hier werden konstante Querschnittseigenschaften und vernachlässigte Schubverformungen angenommen. Dann gilt:

w(x) = q0/(12 E I) · (-l x³ + x⁴/2 + l³ x/2).

Die maximale Durchbiegung liegt in der Mitte und beträgt:

wmax = w(x = l/2) = 5 l⁴ q0/(384 E I).

Bei einer allgemeinen Linienlast q(x) ist die Ausgangsgleichung die vierte Ableitung der Biegelinie:

w''''(x) = q(x)/(E I).

Für q(x)=q0 wird diese Gleichung viermal integriert. Nach dem zweiten Integrieren erhält man als Zwischenergebnis den Zusammenhang zwischen Biegelinie und Biegemomentverlauf:

w''(x) = -M(x)/(E I) = (q0 x)/(2 E I) · (x-l).

Kreisflächen und komplexere Fälle

Bei flächenhaften Bauteilen wird die Berechnung deutlich schwieriger als bei Balken. Für Kreisflächen lässt sie sich aber abschätzen, zum Beispiel bei Membranen wie Lautsprechern oder bei großen Linsen wie Fernrohrobjektiven.

Hat eine Membran nur eine geringe Dicke d, folgen die Biegemomente radialen beziehungsweise tangentialen Differentialgleichungen. Die Biegelinie einer Kreismembran erfordert eine zusammengesetzte Differentialformel. Bei einer Querkraft Q lautet eine Näherung:

d³w/dr³ + (1/r) d²w/dr² - (1/r²) dw/dr = Q/D.

Dabei ist D das Widerstandsmoment:

D = E d³ / (12 · (1 - ν²)).

ν ist die Poissonzahl des Materials.

Für andere regelmäßige Formen kann die analytische Mechanik Lösungen liefern, solange der Gegenstand eindeutig auf einer Ebene mit Querschnittseigenschaften oder Plattenerzeugendeneigenschaften abbildbar ist und homogen, orthotrop und linear elastisch aufgebaut ist. Als Methode wird die Airy’sche Spannungsfunktion genannt. Auch Bauteile aus unterschiedlichen Materialien können näherungsweise behandelt werden, wenn die Verbindungsstellen mechanisch klar definiert sind, etwa bei axialer Anordnung.

Komplexere Formen sind jedoch nicht streng berechenbar. Sie werden häufig durch Biegeversuche im Labor untersucht oder mathematisch-physikalisch in netzartige Teile zerlegt, vor allem mit der Finite-Elemente-Methode. Für Beton gibt es in der Baupraxis ausreichend genaue Annahmen: Im ungerissenen Bereich, der Mikrorisse, aber keine Makrorisse enthält, kann Beton als verschmiert homogenes Material betrachtet werden.