Duale Paarung

Grundidee und Definition

Die duale Paarung ist eine Abbildung, die einem Vektor und einem linearen Funktional eine Zahl zuordnet. Sie verallgemeinert das Skalarprodukt: Begriffe, die sonst aus dem Skalarprodukt stammen, zum Beispiel Orthogonalität, können dadurch auch in Räumen verwendet werden, in denen kein Skalarprodukt definiert ist. Der Nachteil ist, dass die beiden beteiligten Objekte aus unterschiedlichen Vektorräumen stammen.

Seien X und Y Vektorräume über einem Körper K. Gibt es eine nicht ausgeartete Bilinearform ⟨,⟩: X × Y → K, dann heißen X und Y in Dualität. Die Abbildung ⟨·,·⟩: X × Y → K, (x,y) ↦ ⟨x,y⟩ heißt duale Paarung.

Oft ist X mit einer Topologie versehen. Dann wählt man für Y meist den topologischen Dualraum X′, also den Raum der stetigen linearen Funktionale auf X. In diesem Fall ist die duale Paarung ⟨·,·⟩: X × X′ → K, (x,l) ↦ ⟨x,l⟩ := l(x). Eine weitere Topologie τ heißt kompatibel bezüglich der dualen Paarung, wenn sie denselben topologischen Dualraum X′ ergibt und damit dieselbe duale Paarung.

Normierte Räume und Ungleichung

Für einen normierten Raum X besitzt die duale Paarung wichtige Nichtausartungseigenschaften. Es gilt: Wenn für alle x ∈ X gilt ⟨x,l⟩ = 0, dann ist l = 0. Außerdem gilt: Wenn für alle l ∈ X′ gilt ⟨x,l⟩ = 0, dann ist x = 0. Die zweite Aussage folgt als Korollar aus dem Satz von Hahn-Banach für normierte Räume. Damit ist die duale Paarung in diesem Fall eine nicht entartete bilineare Abbildung.

In normierten Räumen gilt außerdem eine Ungleichung, die die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung verallgemeinert. Für x ∈ X, l ∈ X′ und die Operatornorm ||l||Op gilt |⟨x,l⟩| ≤ ||x|| · ||l||Op. Sie drückt aus, dass der Wert des Funktionals l auf x durch die Länge von x und die Operatornorm von l beschränkt ist.

Hilberträume und adjungierte Operatoren

Ist X ein Hilbertraum, dann gilt wegen des Darstellungssatzes von Fréchet-Riesz X ≅ X′. Der Raum kann also mit seinem topologischen Dualraum identifiziert werden. Ist X zusätzlich ein reeller Vektorraum, dann ist die duale Paarung in diesem Fall identisch mit dem Skalarprodukt des Hilbertraums.

Bei komplexen Hilberträumen muss man unterscheiden: Die duale Paarung ist bilinear, während das Skalarprodukt nur sesquilinear ist. Um Verwechslungen zu vermeiden, wird in der Literatur manchmal ⟨·,·⟩ für die duale Paarung und (·,·) für das Skalarprodukt verwendet. Dann gilt die Beziehung ⟨x,y⟩ = (x,ȳ).

Die Notation passt auch zu Rechenregeln für adjungierte Operatoren. Ist X ein Hilbertraum, T: X → X ein linearer Operator und T*: X → X der adjungierte Operator, dann gilt (Tx,y) = (x,T*y). Ist X kein Hilbertraum, so erhält man als Adjungierte zu T einen Operator auf den Dualräumen T′: X′ → X′, und es gilt ⟨Tx,y⟩ = y(Tx) = (T′y)(x) = ⟨x,T′y⟩.

Gelfand-Tripel

Ein Gelfand-Tripel verbindet duale Paarung und Skalarprodukte. Man betrachtet einen Hilbertraum H und einen Teilraum N. Der Raum N trägt eine Topologie, die feiner ist als die von H induzierte Teilraumtopologie, sodass die Inklusionsabbildung i: N → H stetig ist.

Durch den Riesz-Isomorphismus kann H wieder mit H′ identifiziert werden. Zur Inklusionsabbildung gehört eine duale Abbildung i′: H′ → N′. Oft fordert man, dass N ein dichter Teilraum von H ist; dann ist i′ injektiv und wird zu einer Einbettung. Man schreibt die Inklusionskette N ⊂ H = H′ ⊂ N′. Diese Kette heißt Gelfand-Tripel, benannt nach I. M. Gelfand.

Auch für N und N′ kann man eine duale Paarung betrachten. Sie kann aber nur dann mit dem Skalarprodukt auf H in der Beziehung ⟨x,y⟩ = (x,ȳ) stehen, wenn y ein Element von H′ ist.

Beispiel und Annihilatorraum

Ein wichtiges Beispiel für ein Gelfand-Tripel aus der White-Noise-Analysis ist S(R) ⊂ L²(R) ⊂ S(R)′. Dabei ist S(R) der Schwartz-Raum der schnell fallenden Funktionen, S(R)′ sein topologischer Dualraum, also der Raum der temperierten Distributionen, und L²(R) der Hilbertraum der quadratisch integrierbaren Funktionen bezüglich des Lebesguemaßes. Der Schwartz-Raum ist ein dichter Teilraum und ein vollständiger metrischer Raum, aber auf ihm lässt sich kein Skalarprodukt definieren, das seine Topologie erzeugt.

Jedes Element f in L² kann als temperierte Distribution aufgefasst werden durch die Abbildung f̄: S → R, g ↦ ∫R g(x)f(x)dx. Die Endlichkeit des Integrals folgt aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung. Für solche durch quadratisch integrierbare Funktionen induzierten Elemente stimmen Skalarprodukt und duale Paarung überein. Für singuläre Distributionen, zum Beispiel die Deltadistribution, gilt das nicht; der Ausdruck ∫R g(x)δ(x)dx ist nur formal und kein Lebesgueintegral.

Mit der dualen Paarung lässt sich außerdem der Annihilatorraum definieren. Für eine Menge S ⊂ X ist S⁰ = {f ∈ X′ | f(S) = {0}}. Er verallgemeinert das orthogonale Komplement einer Menge.

Physik und Bra-Ket-Schreibweise

In der Physik wird die duale Paarung gewöhnlich mit vertauschter Reihenfolge von Dualraum und Vektorraum geschrieben: ⟨·,·⟩: X′ × X → K, (l,x) ↦ ⟨l,x⟩ = l(x). Ein Grund dafür ist die Ähnlichkeit zum euklidischen Skalarprodukt. Vektoren können als Spaltenvektoren und zugehörige Funktionale als Zeilenvektoren aufgefasst werden; mit den Regeln der Matrizenmultiplikation entsteht dann ein Produkt aus Zeilenvektor und Spaltenvektor.

Im Bra-Ket-Formalismus der Quantenmechanik werden Vektoren als Ket-Vektoren |y⟩ und Elemente des Dualraums als Bra-Vektoren ⟨x| geschrieben. Die Idee ist, ein Skalarprodukt formal als Produkt aus einem Funktional und einem Vektor zu schreiben. Streng genommen liegt hier aber keine duale Paarung zugrunde, weil die Vektorräume in der Quantenmechanik oft komplex sind und das Skalarprodukt daher sesquilinear ist. Die Notation bleibt dennoch nützlich, weil sie ein intuitives Rechnen mit Vektoren, Funktionalen und Skalarprodukten ermöglicht.