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Doppelball-Versuch
Der Doppelball-Versuch, auch bekannt als Ballpyramide oder Superjump, ist ein physikalisches Experiment, das die Impulserhaltung veranschaulicht.
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Grundidee und Aufbau
Der Doppelball-Versuch, auch Ballpyramide oder Superjump genannt, ist ein physikalisches Experiment zur Veranschaulichung der Impulserhaltung. Zwei oder mehr Bälle werden übereinandergelegt und aus einer bestimmten Höhe fallen gelassen. Dabei ist der untere Ball schwerer als der darüberliegende. Nach dem Aufprall auf dem Boden springt der oberste und leichteste Ball deutlich über seine ursprüngliche Höhe hinaus. Ursache ist, dass der untere, schwerere Ball seinen Impuls auf den leichteren Ball überträgt und dessen Geschwindigkeit dadurch stark erhöht.
Beim Versuch werden zunächst zwei Bälle senkrecht übereinander angeordnet. Für eine stabile Lage sollen der Schwerpunkt der Bälle und ihr Kontaktpunkt auf einer Linie liegen. Dazu können sie mittig durch eine Schnur oder einen Stab geführt werden. Die Bälle dürfen jedoch nicht dauerhaft fixiert sein, da sie sich beim Stoß getrennt voneinander bewegen müssen. Bei mehreren übereinander angeordneten Bällen spricht man von einer Ballpyramide. Die Ausgangssituation lässt sich beispielsweise durch doppelseitiges Klebeband, einen senkrechten gespannten Faden oder einen Stab herstellen. Je mehr Bälle verwendet werden, desto schwieriger ist die genaue Vorbereitung.
Beobachtung im idealen und realen Fall
Ein einzelner idealisierter Ball ist elastisch, reibungsfrei und perfekt rund. Fällt er auf einen idealisierten Boden, der keine Energie aufnimmt, erreicht er nach dem Abprall genau seine Ausgangshöhe. Reale Bälle verlieren dagegen Energie durch Reibung und irreversible Deformation, also eine nicht rückgängig zu machende Verformung. Deshalb bleibt ihre Endhöhe normalerweise unter der Ausgangshöhe.
Beim Doppelball-Versuch springt der untere, schwerere Ball nach dem Aufprall am Boden nur wenig nach oben. Gleichzeitig wird der obere, leichtere Ball stark nach oben beschleunigt und erreicht eine Höhe, die weit über seiner ursprünglichen Höhe liegt. Das zunächst überraschende Ergebnis entsteht durch das zeitlich aufeinanderfolgende Zusammenspiel des Aufpralls des unteren Balls auf den Boden und des Stoßes zwischen den beiden Bällen.
Impuls- und Energieerhaltung
Zum Verständnis des Versuchs sind sowohl die Impulserhaltung als auch die Energieerhaltung wichtig. Der Impuls eines bewegten Objekts ist das Produkt aus seiner Masse und seiner Geschwindigkeit: „Masse mal Geschwindigkeit“.
Beim Auftreffen auf den Boden wird der untere Ball zunächst zusammengestaucht und dehnt sich anschließend wieder aus. Dabei kehrt sich die Richtung seines Impulses um, sodass er sich wieder nach oben bewegt. Trifft er auf den noch fallenden oberen Ball, überträgt er seinen Impuls auf diesen. Der schwerere Ball wird dadurch abgebremst und fällt relativ bald wieder zu Boden. Weil der zweite Ball eine geringere Masse besitzt, führt der erhaltene Gesamtimpuls der beiden Bälle zu einer höheren Geschwindigkeit dieses leichteren Balls. Im idealen Fall bleibt außerdem die gesamte kinetische Energie erhalten; im realen Fall wird ein Teil der Energie durch Verformung und andere Verluste abgegeben.
Berechnung mit zwei und drei Bällen
Für zwei ideale Bälle mit rein elastischen Stößen ergibt sich aus Energie- und Impulserhaltung für die Endgeschwindigkeit des leichteren Balls:
v₂' = [m₂ · v₂ + m₁ · (2v₁ − v₂)] / (m₁ + m₂)
Dabei bezeichnet v₁ die Geschwindigkeit des schwereren Balls vor dem Stoß, v₂ die Geschwindigkeit des leichteren Balls vor dem Stoß, v₂' dessen Geschwindigkeit nach dem Stoß, m₁ die Masse des schwereren Balls und m₂ die Masse des leichteren Balls. Kurz vor dem Stoß haben beide Bälle entgegengesetzt gerichtete, betragsgleiche Geschwindigkeiten: v₁ = v = −v₂. Dann gilt:
v₂' = v · (3m₁ − m₂) / (m₁ + m₂)
Die maximale Höhe ist erreicht, wenn die gesamte kinetische Energie des Balls in potentielle Energie umgewandelt wurde. Für das Verhältnis der Sprunghöhe h₂ des leichteren Balls zu seiner Starthöhe h₀ gilt:
h₂ / h₀ = [(3m₁ − m₂) / (m₁ + m₂)]²
Für m₁ ≫ m₂ erreicht der leichtere Ball das Dreifache seiner Anfangsgeschwindigkeit und damit das Neunfache der Ausgangshöhe.
Bei drei Bällen muss zusätzlich der Stoß zwischen dem mittleren Ball 2 und dem leichtesten Ball 3 berechnet werden. Mit den Massenverhältnissen q₁ = m₂/m₁ und q₂ = m₃/m₂ lautet die Geschwindigkeit des dritten Balls nach diesem Stoß:
v₃' = v/(1 + q₂) · [(1 + k)(k² + 2k − q₁)/(1 + q₁) + k − q₂]
Im idealen Fall mit k = 1 und m₁ ≫ m₂ ≫ m₃ erhält man v₃' = 7 · v. Die Endhöhe des dritten Balls entspricht dann dem 49-Fachen seiner Ausgangshöhe. Bei einer Pyramide mit weiteren Bällen kann die Rechnung analog fortgesetzt werden, indem jeweils die Stöße benachbarter Bälle betrachtet werden.
Reale Bälle und der Astroblaster
Energieverluste beim Auftreffen des schwereren Balls auf den Boden werden im realen Fall durch die Stoßzahl k berücksichtigt. Nach der Reflexion vom Boden besitzt der untere Ball die Geschwindigkeit v₁ = k · v. Für die Geschwindigkeit des leichteren Balls nach dem Stoß mit dem schwereren gilt:
v₂' = v · [m₁(k² + 2k) − m₂] / (m₁ + m₂)
Im realen Fall ist k < 1, weil Energie verloren geht. Im idealen Fall gilt k = 1; dann ergibt sich wieder die Formel des idealen Doppelball-Versuchs.
Der Versuch veranschaulicht außerdem Vorgänge bei einer Supernova. Bei kollabierenden Sternen können Mechanismen Materie mit hoher Expansionsgeschwindigkeit verteilen. Die aus leichten Elementen bestehende äußere Hülle wird dabei beim Aufprall auf die ebenfalls kollabierenden inneren Hüllen analog zum leichten Ball auf ein Vielfaches ihrer Ausgangsgeschwindigkeit nach außen beschleunigt. Auf dieser Analogie basiert das Spiel „Astroblaster“ von Stirling Colgate.
Das Spielzeug besteht aus vier verschieden schweren Kugeln, die auf einem Stab aufgereiht sind. Die schwerste Kugel ist fest mit dem Stab verbunden, zwei mittlere Kugeln können sich auf dem Stab bewegen. Ein verdicktes Stabende verhindert, dass sie herunterrutschen. Nur die oberste und leichteste Kugel kann vom Stab genommen werden. Ein über die Bälle hinausragender Teil des Stabs hält die Anordnung senkrecht über dem Boden. Wird sie losgelassen, fällt sie zu Boden; der leichteste Ball steigt dabei auf mehr als das Zehnfache seiner Ausgangshöhe.
