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Statistik: Dichtefunktion - FernUni Hagen - Wiwi
Das Wichtigste aus dem Video
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Transkriptautomatisch erstellt · 70 Zeilen
- wir haben zwei Zufallsvariablen X und Y die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen x lautet f vonx = p von Groß x = klein x also die
- Wahrscheinlichkeit dass unsere Zufallsvariable groß x einen der folgenden Werte annimmt ist g=ich 0 für X kleiner g= 0 also die
- Wahrscheinlichkeit dass die Zufalls Variable x 0 oder negativ ist ist= 0 1 se für X größer 0 und kleiner g=ich 6 also für jeden Wert zwischen 0 und 6 ist
- die Wahrscheinlichkeit jeweils ein Sechstel das könnte z.B das Werfen eines Würfels sein für jeden der Werte 1 bis 6 ist die Wahrscheinlichkeit ein Sechstel
- 0 ist ja ausgeschlossen ein Sechstel ist die Wahrscheinlichkeit nur dann wenn X größer 0 ist unsere Zufallsvariable x nimmt also das Ergebnis eines
- würfelwurfs auf für jeden Wert größer 6 ist die Wahrscheinlichkeit ebenfalls 0 also 0 für X grö 6 kommen wir zu unserer zufallswariablen
- y die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen y lautet F von Y = 0 für Y klein= 0 1/ für
- Y größer 0 und kleiner g= 6 und 0 für Y größer 6 die Wahrscheinlichkeitsfunktion für Y sieht also exakt genau so aus wie die für X
- dennoch gibt es einen Unterschied denn y steht nicht für die Augenzahl eines Würfels sondern y steht für die Regenmenge eines Tages wir stellen ein 6
- l einmal auf die Erde und schauen am Ende des Tages wie viel Wasser sich in diesem Eimer befindet und die Zufallsvariable y nimmt die Wassermenge
- des einas auf der einfachheitthalber und damit die beiden wahrscheinlichkeitsfunktionen äußerlich gleich aussehen gehen wir einfach davon
- aus dass die Wahrscheinlichkeit für jede Regenmenge zwischen 0 und 6 gleich groß ist und dass es ausgeschlossen ist dass gar kein regenfällt denn die
- Wahrscheinlichkeit für null ist ja null da es sich um ein 6 lit Eimer handelt können sich auch nicht mehr als 6 l im einimer befinden mir geht es hier darum
- dass es sich bei X um eine diskrete Zufallsvariable handelt und bei y um eine stetige Zufallsvariable x nimmt die gewürfelte
- Augenzahl auf also einen der Werte 1 2 3 4 5 und 6 y nimmt die Wassermenge im Eimer auf also einen beliebigen Wert zwischen 0
- und 6 also auch jeden Wert zwischen 1 und 2 zwischen 2 und 3 und so weiter also z.B auch den Wert 2,1 oder 2,01 oder
- 2,001 Y kann unendlich viele verschiedene Werte aufnehmen X ist diskret y ist stetig wenn wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X in
- einem Diagramm darstellen wollen dann nehmen wir dazu üblicherweise ein Säulendiagramm die x-Werte werden auf der x-Achse abgetragen und auf der
- Y-Achse werden die jeweils zugehörigen F von X Werte abgetragen die Wahrscheinlichkeiten so wir haben die x-Werte 1 2 3 4 5 und 6 und da die
- Wahrscheinlichkeit für jeden dieser Werte ein Sechstel ist brauchen wir uns auf der Y-Achse nur diesen Wert markieren sagen wir hier ist ein
- Sechstel dann ist das die Säule für den x-Wert 1 das ist die Säule für den x-Wert 2 hier ist der xwert 3 hier ist 4 alle Säulen sind ein Sechstel hoch 5 und
- 6 so wenn wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y in einem Diagramm darstellen wollen dann müssen wir auch die Werte zwischen 1 und
- 2 oder zwischen 2 und 3 berücksichtigen daher können wir hier kein Säulendiagramm verwenden weil jede Säule ja für einen einzelnen Wert steht hier
- haben wir aber unendlich viele Werte zwischen 1 und 2 oder zwischen 2 und 3 das müssen wir also anders darstellen und tatsächlich ist die Darstellung in
- diesem Fall sogar einfacher wirichnen die Wahrscheinlichkeit einfach als eine durchgehende Linie denn wir hatten ja gesagt dass die Wahscheinlichkeit für
- jeden xbeliebigen Wert zwischen 0 und 6 g groß ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion sagt dass die Wahrscheinlichkeit zwischen 0
- und 6 ein SE ist entschuldigung das hier muss natürlich y heißen und das ist f von Y so aber jetzt wird's interessant denn
- was heißt in diesem Fall ein Sechstel fragen wir uns mal wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für 2 l Regen wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass
- sich am Ende des Tages 2 l Wasser im eimal befinden und somit der Wert unserer Zufallsvariablen y = 2 ist wie sich herausstellt ist die inlichkeit
- dafür nicht etwa ein Sechstel wie man ja meinen könnte wenn man sich das Diagramm anschaut oder die Wahrscheinlichkeitsfunktion Anstau
- anschaut hier steht ja auch ein Sechstel nein die Wahrscheinlichkeit für genau 2 l Wasser ist gleich 0 denn wir müssen uns klar machen was es bedeutet wenn wir
- es mit einer stetigen Größe zu tun haben wir haben ja nicht nach ungefähr 2 l Wasser gefragt sondern nach genau 2 l Wasser 2 l Wasser wird im Diagramm durch
- diese Linie dargestellt und diese Linie ist eigentlich unendlich dünn sie hat keine Fläche sie steht nicht für 1,9999 l Wasser sie steht auch nicht für
- 2,001 l Wasser sie steht für genau 2 l Wasser kein Mikrogramm mehr oder weniger kein Nanogramm und kein quadrillionstel Gramm mehr oder weniger auch kein halbes
- Atom zu viel oder zu wenig diese Wahrscheinlichkeit ist praktisch null das heißt um hier irgendeine sinnvolle Aussage zur Wahrscheinlichkeit
- zu machen müssen wir immer mit von bis Bereichen arbeiten das heißt eine sinnvolle Frage wäre wie groß die Wahrscheinlichkeit ist dass sich
- zwischen 1,5 und 2,5 l Wasser im Eimer befinden diese Frage können wir mit Hilfe des Diagramms beantworten denn die Wahrscheinlichkeit dass ich zwischen 1,5
- und 2,5 l im Eimer befinden entspricht der Fläche unterhalb des Grafen im betreffenden Bereich wir wissen dass sich alle
- Wahrscheinlichkeiten immer zu eins aufadidieren und tatsächlich ist der gesamte Flächeninhalt 6 x 1 = 1 die Fläche zwischen 1,5 und 2,5 ist 1
- x 1 = 1 jeder dieser Bereich zschen 0 und 1 zwischen 1 und 2 zwischen 2 und 3 zwischen 3 und 4 zwischen 4 und
- 5 und zwischen 5 und 6 ist gleich ein SE genauso wie im Säulendiagramm jede Säule ein sechel ist ist hier jeder dieser Bereiche ein Sechstel und alles
- zusammen summiert sich immer zu ein jetzt können wir auch für beliebige Bereiche die Wahrscheinlichkeiten ausrechnen
- für einen einzelnen bestimmten Wert ist immer null weil der keine Fläche hat jetzt haben wir es hier mit dem speziellen Fall einer Gleichverteilung
- zu tun alle Werte sind gleich wahrscheinlich auch für die diskrete Zufallsvariable haben wir eine Gleichverteilung jeder einzelne Wert ist
- gleich wahrscheinlich im stetigen Fall nennt man dies auch nach der Form eine rechteckverteilung es gibt auch noch andere
- verteilungsformen z gibt es auch eine dreieckverteilung die könnte z.B so aussehen oder verschiedenste andere
- Formen der Verteilung all das sind denkbare verteilungsformen eine besonders häufig anzutreffende Form der Verteilung ist
- die sogenannte Normalverteilung ich versuche das mal zu zeichnen das sieht ungefähr so aus bei all diesen verteilungsform
- summiert sich die Fläche unter dem en immer zu eins denn die Summe der Wahrscheinlichkeiten muss ja eins sein im Unterschied zur Gleichverteilung
- haben hier die verschiedenen Bereiche also solche Bereiche von gleicher Breite unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten die jeweilige
- Wahrscheinlichkeit wird ja immer durch die Fläche unter dem Grafen ausgedrückt das heißt wenn wir mal davon ausgehen dass dieser Bereich doppelt so hoch ist
- wie dieser Bereich dass auch die Fläche doppelt so groß ist und dass die Wahrscheinlichkeit für diesen Bereich doppelt so groß ist andersrum wenn wir
- die Fläche halbieren und wir können die Fläche auch halbieren indem wir den betreffenden Bereich halbieren wir halbieren die Fläche also längs dann hat
- dieser Bereich exakt die gleiche Wahrscheinlichkeit wie dieser Bereich der Flächeninhalt ist derselbe auch wenn der rechte Bereich nur noch halb so
- breit ist da wir die Wahrscheinlichkeiten also nie für einen Punkt sondern immer nur für Bereiche angeben können und die
- Wahrscheinlichkeiten aber davon abhängen wie breit wir den jeweiligen Bereich wählen nennen wir die Höhe des Grafen die
- Wahrscheinlichkeitsdichte wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte hier doppelt so hoch ist wie hier dann ist die Wahrscheinlichkeit hier für jeden
- Bereich doppelt so groß wie für jeden gleichbreiten Bereich hier die Höhe des Grafen sagt uns also nicht sofort die Wahrscheinlichkeit sondern die
- Wahrscheinlichkeitsdichte daher nennen wir die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen nicht Wahrscheinlichkeitsfunktion sondern
- Dichtefunktion unser F von Y ist also eine dichte Funktion diese dichte Funktion liefert uns also nicht die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten
- Wert sondern die Wahrscheinlichkeitsdichte für diesen Wert mit Hilfe dieser Dichte können wir dann die Wahrscheinlichkeit für einen
- bestimmten Bereich ausrechnen bzw was dasselbe ist die Fläche unter dem Grafen für einen bestimmten Bereich und wie macht man das wie berechnet man
- normalerweise die Fläche unter einem funktionsgrafen wie vielleicht aus dem mattekurs bekannt ist berechnet man die Fläche unter einem
- funktionsgrafen indem man das Integral der Funktion bildet keine Angst ich will jetzt keine Integralrechnung machen mir geht es hier nur um die grundsätzlichen
- Zusammenhänge tatsächlich haben wir die Integralrechnung hier schon angewandt wenn F vony = 1 ist dann ist die Stammfunktion oder die Aufleitung =ich 1
- se x ne die Ableitung von 1/ X ist ja 1/ und wenn wir die Fläche zwischen 3 und 4 ausrechnen wollen dann setzen wir für X einmal 3 ein und einmal 4 und
- ziehen das eine vom anderen ab also 1/ x 4 - 1/ x 3 das ist=le 1/ x 1 also 1 se also immer wenn von einer Dichtefunktion die Rede ist wissen wir
- dass wir es mit einer stetigen Größe zu tun haben wie etwa der Wassermenge in einem Eimer und die zugehörige Zufallsvariable wie etwa unsere
- Zufallsvariable y ist eine stetige Zufallsvariable immer wenn von einer Wahrscheinlichkeitsfunktion die Rede ist müssen wir von einer diskreten Größe und
- einer diskreten Zufallsvariablen ausgehen
Zum Nachlesen
DichtefunktionEine Dichtefunktion, kurz Dichte, ist eine spezielle reellwertige Funktion, die hauptsächlich in den mathematischen Teilgebieten der Stochastik und der …
WahrscheinlichkeitDie Wahrscheinlichkeit ist ein allgemeines Maß der Erwartung für ein unsicheres Ereignis. Auf der einen Seite sollen Vorhersagen (Prognosen) über den …