Carnot-Wirkungsgrad

Bedeutung und Berechnung

Der Carnot-Wirkungsgrad η_c, auch Carnot-Faktor genannt, ist der höchste theoretisch mögliche Wirkungsgrad bei der Umwandlung thermischer Energie in mechanische Energie. Er beschreibt den idealen Carnot-Prozess, einen von Nicolas Léonard Sadi Carnot erdachten Kreisprozess, und dient als obere Grenze für Wärmekraftmaschinen.

Er hängt ausschließlich von den absoluten Temperaturen der beiden Wärmereservoirs ab: T_h ist die Temperatur des heißen Reservoirs und T_k diejenige des kalten Reservoirs. Beide Temperaturen müssen in Kelvin eingesetzt werden:

η_c = (T_h − T_k) / T_h = 1 − T_k / T_h

Der Carnot-Wirkungsgrad steigt, wenn T_h größer oder T_k kleiner wird. Da die heiße Temperatur nach oben und die kalte Temperatur nach unten begrenzt sind, kann der Wirkungsgrad 100 % nicht erreichen.

Beispielrechnung

Ein Prozess arbeitet zwischen 800 °C und 100 °C. Für die Formel werden diese Temperaturen in Kelvin angegeben:

T_h = 1073,15 K T_k = 373,15 K

Damit ergibt sich:

η_c = 1 − 373,15 / 1073,15 = 0,652 = 65,2 %

Selbst eine ideale Wärmekraftmaschine könnte zwischen diesen beiden Temperaturen somit höchstens 65,2 % der aufgenommenen Wärmeenergie in Nutzarbeit umwandeln.

Thermodynamische Begründung

Eine Wärmekraftmaschine nimmt aus einem heißen Wärmespeicher bei der Temperatur T_h die Wärme Q_h auf. Einen Teil davon gibt sie als Nutzarbeit W, beispielsweise als mechanische Arbeit, ab. Die restliche Energie Q_k fließt als Wärme in einen kälteren Speicher bei T_k. Der Wirkungsgrad ist das Verhältnis von Nutzarbeit zu aufgenommener Wärme:

η = W / Q_h

Die Begrenzung folgt aus dem Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik. Bei der isothermen Wärmeaufnahme wird der Maschine die Entropie S_h = Q_h / T_h übertragen. An das kalte Reservoir gibt sie die Entropie S_k = Q_k / T_k ab. Entropie ist eine thermodynamische Zustandsgröße; in selbständig ablaufenden Prozessen kann sie niemals abnehmen. Deshalb gilt:

S_k ≥ S_h

Daraus folgt:

Q_k ≥ Q_h · T_k / T_h

Zusammen mit der neutralen Energiebilanz Q_k = Q_h − W erhält man:

W ≤ Q_h · (1 − T_k / T_h)

Somit gilt für jede Wärmekraftmaschine η ≤ η_c. Nur der ideale Carnot-Prozess erreicht diese Grenze. In der Praxis sind isotherme Wärmeübergänge nicht realisierbar, und die tatsächlichen Prozesstemperaturen unterscheiden sich von den Reservoirtemperaturen. Je nach Kreisprozess werden technisch daher höchstens Wirkungsgrade von über zwei Drittel des Carnot-Wirkungsgrades erreicht.

Wärmepumpen und Kältemaschinen

Wärmepumpen und Kältemaschinen betreiben den umgekehrten Vorgang: Sie benötigen mechanische oder elektrische Energie, um thermische Energie von einem niedrigeren auf ein höheres Temperaturniveau zu transportieren. Der Carnot-Wirkungsgrad beschreibt hier daher nicht die maximal gewinnbare, sondern die mindestens erforderliche elektrische Energie W_el.

Für eine Wärmepumpe gilt:

W_el > (1 − T_k / T_h) · Q_h

Für eine Kältemaschine gilt:

W_el > (T_h / T_k − 1) · Q_k

Ihre Effizienz wird durch Leistungszahlen ε angegeben. Bei einer Wärmepumpe ist die auf dem oberen Temperaturniveau abgegebene Wärme Q_h die Nutzgröße:

ε_WP = Q_h / W_el < ε_WP,c

Die ideale Carnot-Leistungszahl beträgt:

ε_WP,c = 1 / η_c = T_h / (T_h − T_k) > 1

Bei einer Kältemaschine ist dagegen die bei niedriger Temperatur aufgenommene Wärme Q_k die Nutzgröße:

ε_KM = Q_k / W_el < ε_KM,c

Für die ideale Carnot-Leistungszahl gilt:

ε_KM,c = 1 / η_c − 1 = T_k / (T_h − T_k)