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Linse (Optik)
Als Linsen bezeichnet man in der Optik transparente Scheiben, von deren zwei Oberflächen wenigstens eine – meistens sphärisch – gekrümmt ist.
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Begriff und Wirkungsweise
Eine optische Linse ist eine transparente Scheibe, bei der mindestens eine der beiden Oberflächen gekrümmt ist, meistens sphärisch, also Teil einer Kugeloberfläche. Beim Durchgang wird Licht an den Grenzflächen gebrochen. Eine konvexe, nach außen gewölbte Fläche sammelt Licht; eine konkave, nach innen gewölbte Fläche zerstreut es.
Sammellinsen lenken ein achsenparalleles Lichtbündel idealerweise zu einem Brennpunkt oder Fokus F hinter der Linse. Ihre Brennweite f ist positiv. Zerstreuungslinsen lassen Parallelstrahlen so auseinanderlaufen, als kämen sie von einem Punkt auf der Einfallseite; ihre Brennweite ist negativ. Die Brennweite ist der Abstand zwischen Brennpunkt beziehungsweise Brennebene und Hauptebene. Ihr Kehrwert heißt Brechwert D und wird in Dioptrien angegeben: D = 1/f. Die nutzbare Fläche einer Linse heißt Öffnung oder Apertur.
Eine Linse wird hauptsächlich durch ihren Durchmesser, die Krümmungsradien R₁ und R₂, den Brechungsindex n′ ihres Materials sowie den Brechungsindex n der Umgebung beschrieben. Für eine dünne Linse, deren Dicke gegenüber den Kugelradien vernachlässigbar ist, gilt die Linsenschleiferformel:
D = 1/f = ((n′ − n)/n) · (1/R₁ − 1/R₂).
Bei einer dicken Linse muss zusätzlich die Mittendicke d berücksichtigt werden:
D = 1/f = ((n′ − n)/n) · (1/R₁ − 1/R₂) + ((n′ − n)²d)/(nn′R₁R₂).
Mit D₁ = ((n′ − n)/n) · 1/R₁ und D₂ = −((n′ − n)/n) · 1/R₂ ergibt sich die besonders in der Augenoptik verwendete Gullstrand-Formel:
D = D₁ + D₂ − (n/n′)dD₁D₂.
Für alle mit Strahlenoptik beschreibbaren Systeme gilt die Umkehrung des Lichtweges: Ein entgegengesetzt einfallender Strahl durchläuft genau denselben Weg in umgekehrter Richtung.
Linsenformen und Vorzeichen
Bei sphärischen Linsen sind beide optisch wirksamen Flächen Kugelausschnitte. Sammellinsen können bikonvex, plankonvex oder als Meniskuslinse aus einer konvexen und einer konkaven Fläche aufgebaut sein. Sie sind im Bereich der optischen Achse dicker als am Rand. Zerstreuungslinsen können bikonkav, plankonkav oder ebenfalls meniskusförmig sein und sind am Rand dicker als in der Mitte.
Eine Meniskuslinse besitzt eine konkave und eine konvexe Fläche. Sie wirkt sammelnd, wenn die konvexe Fläche stärker gekrümmt ist, und zerstreuend, wenn die konkave Fläche stärker gekrümmt ist. Solche Linsen werden häufig zur Korrektur von Abbildungsfehlern eingesetzt. Ein Element mit zwei ebenen, parallelen optischen Flächen heißt Planplatte oder planparallele Platte.
Nach DIN 1335 werden die in Lichtrichtung aufeinanderfolgenden Radien als R₁ und R₂ bezeichnet. Ein Radius ist positiv, wenn das Licht zuerst die Fläche und danach ihren Krümmungsmittelpunkt passiert; bei umgekehrter Reihenfolge ist er negativ. Für eine konvexe Fläche gilt daher +R₁ oder −R₂, für eine konkave Fläche −R₁ oder +R₂. Bei einer planen Fläche ist R = ±∞. Die Gerade durch die Krümmungsmittelpunkte heißt optische Achse O; bei einer planen Fläche steht sie senkrecht auf dieser.
Asphärische Linsen weichen von der Kugelform ab und bieten mehr Möglichkeiten, Abbildungsfehler zu korrigieren. Freiformlinsen können komplexe, nicht rotationssymmetrische Oberflächen besitzen. Als Nachteile nennt der Artikel höhere Fertigungskosten, geringere Oberflächenqualität und mögliche Riefen, weist aber darauf hin, dass diese Angaben nicht ausreichend belegt sind. Bei Gradientenlinsen ändert sich der Brechungsindex räumlich stetig, sodass Licht auch im Material selbst gebrochen wird.
Astigmatische Linsen haben in zwei senkrechten radialen Richtungen unterschiedliche Brennweiten. Der Grenzfall ist die Zylinderlinse; sie bündelt paralleles Licht auf einer Brennlinie. Anwendungen sind Brillengläser zur Korrektur des Astigmatismus und Objektive für anamorphotische Verfahren. Elastische Linsen ändern ihre Brechkraft durch Verformung. Ihre Grenzfläche kann sphärisch oder asphärisch gestaltet werden; mit Gummimaterialien sind Änderungen von etwa 15 dpt möglich. Dieses schnell veränderliche Prinzip nutzt auch das Auge.
Brennweite, Hauptebenen und Abbildung
Die Abbildungseigenschaften hängen gemeinsam von den Brechungsindizes und der Form der Grenzflächen ab. Bei einer dicken Linse werden zwei Hauptebenen benötigt: eine gegenstandsseitige und eine bildseitige Bezugsebene. Die gegenstands- und bildseitigen Brennweiten unterscheiden sich nur, wenn vor und hinter der Linse unterschiedliche optische Medien liegen. Brennweiten und Hauptebenen sind ideale Größen der paraxialen Optik, die nur achsennahe Strahlen mit kleinen Winkeln betrachtet.
Für eine einzelne sphärische Grenzfläche gilt die Abbesche Invariante:
n(1/r − 1/s) = n′(1/r − 1/s′).
Liegt s im Unendlichen, wird s′ zur bildseitigen Brennweite f′:
f′ = r · n′/(n′ − n).
Bei umgekehrter Strahlrichtung liegt s′ im Unendlichen und s wird zur Brennweite f:
f = r · n/(n − n′).
Die Hauptebene einer einzelnen sphärischen Grenzfläche verläuft durch deren Scheitelpunkt.
An einer Linse wird Licht an zwei Grenzflächen gebrochen. Bei gleichem Medium vor und hinter der Linse lautet das Ergebnis:
1/f′ = 1/f = ((n′ − n)/n)(1/r₁ − 1/r₂) + ((n′ − n)²d)/(n′nr₁r₂).
Für eine dünne Linse mit d = 0 beziehungsweise d ≪ r₁, r₂ entfällt der letzte Term. Bei dicken Linsen liegen die Hauptebenen im Allgemeinen nicht aufeinander, weil der seitliche Strahlversatz nicht vernachlässigt werden kann. Bei hinreichend dünnen Linsen gehen ihre Abstände von den Scheiteln gegen null.
Eine ideal geformte Linse kann für bestimmte Aufgaben mit monochromatischem, also einfarbigem Licht fehlerfrei sein. Für das exakte Bündeln achsenparallelen Lichts kann die Eintrittsfläche plan und die Austrittsfläche hyperboloid sein; für den halben Öffnungswinkel α gilt n · cos α = 1. Soll der optische Weg von einem Objektpunkt zu einem Bildpunkt für alle Strahlen gleich lang sein, werden eine sphärische Fläche und ein kartesisches Oval verwendet; dies folgt dem Fermatschen Prinzip.
Linsensysteme, Fehler und Vergütung
Mikroskope, Fernrohre und Objektive enthalten mehrere Linsen. Einem solchen Linsensystem lassen sich als Ganzem eine äquivalente Brennweite und Hauptebenen zuordnen; in paraxialer Näherung können sie effizient mit der Matrizenoptik berechnet werden. Zur Fehlerkorrektur werden Linsen kombiniert und teilweise verkittet. Dafür müssen ihre Kontaktflächen dieselbe Krümmung besitzen. Dünne, eng benachbarte Linsen können gemeinsam wie eine dünne Linse behandelt werden. Die Zahl der Linsen und die Zahl der Gruppen sind nicht immer gleich: Das Trioplan besitzt drei Linsen in drei Gruppen, das Tessar vier Linsen in drei beziehungsweise zwei Gruppen.
Abbildungsfehler erzeugen unscharfe oder verzerrte Bilder. Zu den wichtigsten gehören sphärische und chromatische Aberration, Astigmatismus, Koma, Bildfeldwölbung und Verzeichnung. Bei Linsengrößen über etwa 60 cm kann außerdem eine Linsendurchbiegung auftreten. Sphärische Aberration entsteht, weil Randstrahlen einer sphärischen Linse einen anderen Brennpunkt als achsennahe Strahlen haben. Chromatische Aberration beruht auf der Dispersion des Glases, also der wellenlängenabhängigen Brechung. Kombinationen mehrerer Linsen, etwa Achromate und Apochromate, können beide Fehler vermindern. Gegen Astigmatismus, Koma und Verzeichnung helfen unter anderem asphärische Flächen, mehrere Linsengruppen oder die Beschränkung auf achsennahe Strahlen durch eine kleinere Apertur beziehungsweise ein kleineres Sichtfeld.
An jeder realen Luft-Glas-Grenzfläche mit dem Glasbrechungsindex n = 1,5 werden etwa 4 Prozent der einfallenden Intensität reflektiert, bei einer Linse also ungefähr 8 Prozent. Ohne Gegenmaßnahmen würden die Streuverluste eines fünflinsigen Objektivs etwa 34 Prozent und die eines zehnlinsigen Objektivs etwa 56 Prozent erreichen. Mehrfach reflektiertes Licht kann zudem die Abbildung verfälschen. Deshalb erhalten Linsen meist eine Antireflexbeschichtung, auch Oberflächenvergütung genannt. Sie vermindert Reflexionen durch destruktive Interferenz der an dünnen Schichten reflektierten Strahlen.
Materialien und Herstellung
Linsen für sichtbares Licht bestehen aus optischen Gläsern, Kunststoffen wie Polycarbonaten, Polymethylmethacrylaten oder Cyclo-Olefin-(Co)polymeren sowie aus kristallinen Stoffen wie Calciumfluorid oder Saphir.
Kleine Glaslinsen mit geringen Qualitätsanforderungen können direkt heißgepresst werden. Dabei entstehen durch mechanische Spannungen anisotrope Inhomogenitäten des Brechungsindex, die sich durch anschließendes Tempern verringern lassen. Für Präzisionsoptiken werden Glasblöcke gegossen und langsam abgekühlt: Die Grobkühlung dauert einige Tage, die Feinkühlung etliche Wochen bis wenige Monate. Anschließend werden die Blöcke durch Trennschleifen in Zylinder und Scheiben zerlegt.
Die weitere Bearbeitung umfasst das Grobschleifen mit einem Aufmaß von 100 bis 200 µm, das Feinschleifen oder Läppen mit Diamantkörnern bis zu einem Aufmaß um 1 µm und das Polieren mit Polierrot oder Ceroxid bis zu einer Rauigkeit von weniger als λ/10. Beim Zentrieren wird der Rand so abgeschliffen, dass die optische Achse festgelegt ist. Bei durch Molding hergestellten asphärischen Linsen folgt eine Heißumformung. Kunststofflinsen werden durch Spritzgießen, Spritzprägen oder klassisches Schleifen und Polieren gefertigt.
Eine sphärische Linse wird vollständig durch Geometrie, Material und Toleranzen beschrieben. Dazu gehören Durchmesser, Radien, Mittendicke und Fertigungstoleranzen sowie Brechungsindex, Abbe-Zahl, Spannungsdoppelbrechung und Materialhomogenität.
Entwicklung und besondere Anwendungen
Frühe geschliffene Kristalllinsen sind archäologisch nachgewiesen, doch ihre Verwendung als Sehhilfe oder Brennglas ist oft unbekannt. Die Nimrud-Linse stammt aus dem Assyrien des 7. Jahrhunderts v. Chr. Eine mögliche Linsendarstellung auf ägyptischen Wandmalereien des 8. Jahrhunderts v. Chr. ist umstritten. Die älteste eindeutige schriftliche Beschreibung von Brenngläsern findet sich in Aristophanes’ 423 v. Chr. uraufgeführtem Stück Die Wolken.
Im 9. Jahrhundert formulierte al-Kindī die Theorie, dass Licht in das Auge fällt. Ibn Sahl entdeckte im 10. Jahrhundert das snelliussche Brechungsgesetz, wodurch Brennpunkte und geeignete Linsenformen exakt berechenbar wurden. Alhazen verband im 11. Jahrhundert diese Erkenntnisse mit der geometrischen Optik. Nach der lateinischen Übersetzung seines Werkes ab der Mitte des 13. Jahrhunderts entstanden in Europa Lesesteine. Ende des 13. Jahrhunderts wurden Sammellinsen in Lesebrillen gegen Weit- oder Alterssichtigkeit eingesetzt. Mikroskop und Fernrohr kombinierten Ende des 16. beziehungsweise Anfang des 17. Jahrhunderts mehrere Linsen.
Zu besonderen Bauformen zählt die Fresnellinse, die Licht beispielsweise in Tageslichtprojektoren, Leuchttürmen und Scheinwerfern parallel ausrichtet und auch als Lupe dienen kann. Eine Gaslinse fokussiert hochenergetische Laserstrahlung mithilfe eines radialen Dichte- und damit Brechungsindexunterschieds in einem beheizten, rotierenden Rohr. Weitere Typen sind Flüssiglinsen, Axicons, Fourierlinsen und diffraktive optische Elemente.
Linseneffekte müssen nicht durch transparente Körper entstehen: Elektrische und magnetische Felder fokussieren Elektronen in Elektronenmikroskopen und Teilchenbeschleunigern. Bei einer Gravitationslinse lenkt ein massereiches astronomisches Objekt, etwa ein Schwarzes Loch, Licht ab; ferne Galaxien können dadurch als Kreisbögen oder mehrfach abgebildete Punkte erscheinen. Der Manginspiegel verbindet Linse und Spiegel: Seine zweite Oberfläche ist verspiegelt, sodass das Licht gebrochen und anschließend zurückgeworfen wird.
