Abbildungsfehler

Grundidee und Korrektur

Abbildungsfehler oder Aberrationen sind Abweichungen von der idealen optischen Abbildung durch ein optisches System, etwa ein Foto- oder Fernrohr-Objektiv oder ein Okular. Sie führen zu Unschärfe oder Verzerrung. In der geometrischen Optik untersucht man dazu ein Strahlenbündel, das von einem Objektpunkt ausgeht: Idealerweise treffen sich die Strahlen nach dem System wieder in einem Punkt. Bei Aberrationen entsteht nur eine mehr oder weniger enge Einschnürung; bei Verzeichnung oder Bildfeldwölbung kann sie zudem an der falschen Stelle liegen.

Die Abbildungsleistung beschreibt die Bildqualität. Sie ist hoch, wenn ein System geringe Abbildungsfehler besitzt und ein scharfes, detailreiches Bild erzeugt. Eine perfekte Abbildung eines räumlich ausgedehnten Objekts ist nach Maxwell und dem 1926 von Carathéodory vorgelegten strengen Beweis nur im trivialen Fall der Abbildung an ebenen Spiegeln möglich.

Einzelne Linsen oder Spiegel haben meist zu große Fehler und sind allenfalls zur Beleuchtung geeignet. Mehrere Linsen aus verschiedenen Glassorten, Spiegel und teilweise asphärische Flächen können die Fehler dagegen bis auf einen beliebig kleinen Rest verringern. Bei der Korrektion werden vor allem Flächenabstände und -krümmungen durch Optimierungsrechnungen so gewählt, dass die Fehler insgesamt minimal werden. Das ist rechenintensiv, weil sich die Fehler überlagern und jede Änderung sie meist nichtlinear beeinflusst. Reine Spiegeloptiken haben als Ausnahme keinen Farbfehler.

Digitale Bildbearbeitung kann Farbvergrößerungsfehler sowie tonnen- oder kissenförmige Verzeichnung nachträglich vermindern; bei Digitalkameras sind solche Verfahren in der Firmware möglich.

Monochromatische Schärfe- und Lagefehler

Monochromatische Aberrationen sind Fehler, die auch bei Licht nur einer Wellenlänge auftreten. Sie verändern vor allem die Schärfe oder die Lage von Bildpunkten.

Die sphärische Aberration, auch Öffnungsfehler oder Kugelgestaltsfehler, betrifft achsparallel einfallende Strahlen oder Strahlen eines Objektpunkts auf der optischen Achse. Sie haben nach dem System nicht dieselbe Schnittweite und treffen sich daher nicht in einem Punkt. Je weiter außen ein Strahl verläuft, desto stärker ist die Abweichung. Für die Schnittweite des gebrochenen Strahls gilt aus Symmetriegründen: s = s₀ + Σ(k=1 bis ∞) w₂ₖa²ᵏ. Dabei ist a der Achsabstand beim Eintritt, wₖ die Stärke der sphärischen Aberration k-ter Ordnung und s₀ die paraxiale Schnittweite. Das Bild wirkt weich: Achsnahe Strahlen liefern scharfe, aber kontrastarme Details, während achsferne Strahlen Halos an Hell-Dunkel-Übergängen erzeugen. Abblenden kann das Auflösungsvermögen steigern, sofern der Fehler es begrenzt.

Mit ausschließlich kugelförmigen brechenden oder reflektierenden Flächen ist keine reelle Abbildung völlig frei von sphärischer Aberration möglich. Eine asphärische Fläche kann sie vollständig korrigieren; ein Parabolspiegel bildet einen fernen Punkt für achsparallele Strahlen exakt ab. Kugelflächen sind jedoch günstiger herzustellen. Asphären können heute auch als Presslinge gefertigt werden; kleine Kunststofflinsen aus Spritzguss sind preiswert, genügen aber nicht hohen Anforderungen wie bei Fotoobjektiven. Nachweisen lässt sich der Fehler mit dem foucaultschen Schneidenverfahren, in der Massenfertigung meist interferometrisch.

Astigmatismus entsteht bei schief einfallenden Strahlenbündeln, weil sie in Meridionalebene (M) und Sagittalebene (S) unterschiedlich stark gebrochen werden. Statt eines Punktes entstehen an den Stellen B_M und B_S Brennlinien; dazwischen liegt der kleinste Zerstreuungskreis oder Kreis kleinster Verwirrung. Die astigmatische Differenz ist der Abstand der Brennlinien. Sie nimmt unter anderem mit der Neigung zur optischen Achse, Linsendicke, Linsenstärke und Linsengeometrie zu; bi-konvexe und bi-konkave Linsen sind stärker betroffen als Meniskuslinsen. Anastigmate sind Optiken mit verminderter oder verhinderter astigmatischer Wirkung. Für Augenastigmatismus wird gezielt Astigmatismus durch eine Brille erzeugt, um den Fehler auszugleichen.

Eine Planplatte zwischen Objektiv und Bildebene kann Astigmatismus verursachen, wenn das Objektiv nicht bildseitig telezentrisch ist oder nicht für diese Platte korrigiert wurde. Deshalb können für analoge Fotografie ausgelegte Objektive an Digitalkameras, die meist einen Filter vor dem Sensor besitzen, am Rand an Bildqualität verlieren. Besonders betroffen sind lichtstarke Objektive und Objektive mit Austrittspupille nahe der Bildebene.

Koma, Bildfeld und Verzeichnung

Koma ist ein Asymmetriefehler bei schräg zur optischen Achse einfallenden Strahlenbündeln. Sie entsteht aus der Überlagerung sphärischer Aberration und Astigmatismus schiefer Bündel. Ein Bildpunkt erscheint dann nicht als scharfes Beugungsscheibchen, sondern mit einem zum Rand der Optik gerichteten „Schweif“. Abblenden der Randstrahlen verringert die Koma, nicht aber den Astigmatismus schiefer Bündel. Sie kommt bei Linsen- und Spiegeloptiken vor. Systeme, bei denen sphärische Aberration und Koma vollständig korrigiert sind, heißen Aplanate.

Bei Bildfeldwölbung entsteht das Bild auf einer gewölbten statt auf einer ebenen Fläche. Der Strahlenschnittpunkt entlang der optischen Achse hängt von der Bildhöhe ab; weiter von der Achse entfernte Bildpunkte sind typischerweise zum Objektiv hin verschoben. Auf einer ebenen Projektionsfläche kann ein ebener Gegenstand daher nicht überall gleichzeitig scharf sein: Bei Fokus auf die Mitte wird der Rand unscharf und umgekehrt. Planfeldoptiken halten den Fehler durch besondere Linsenanordnung unter einer Toleranzschwelle; sie werden beispielsweise bei Scannern zur Lasergravur benötigt. Spezialkameras können Film an eine gekrümmte Fläche anpressen, etwa die Baker-Nunn-Satellitenkamera; Digitalkameras können gewölbte Sensoren einsetzen.

Verzeichnung ist ebenfalls ein Lagefehler. Die Bildhöhe, also der Abstand eines Bildpunkts vom Bildzentrum, hängt nichtlinear von der Höhe des zugehörigen Objektpunkts ab; der Abbildungsmaßstab ist somit nicht überall gleich. Gerade Linien, deren Bild nicht durch das Bildzentrum geht, werden gekrümmt abgebildet. Nimmt der Abbildungsmaßstab zum Rand hin ab, liegt tonnenförmige Verzeichnung vor: Ein Quadrat hat nach außen gewölbte Seiten. Beim umgekehrten Fall heißt sie kissenförmig. Überlagerungen verschiedener Ordnungen können wellenförmige Verzeichnung erzeugen.

Weitwinkelobjektive in Retrofokus-Bauweise neigen zur tonnenförmigen, Teleobjektive zur kissenförmigen Verzeichnung. Fischaugen-Objektive verwenden starke tonnenförmige Verzeichnung bewusst: Bildwinkel von 180 Grad und mehr sind nur so möglich. Bei Ferngläsern, besonders mit Weitwinkelokularen, ist kissenförmige Verzeichnung oft erwünscht, um beim Schwenken den Globuseffekt zu vermeiden. Dabei soll die Winkelbedingung erfüllt sein, anders als die Tangentenbedingung bei Fotoobjektiven.

Chromatische Aberrationen und ihre Korrektur

Chromatische Aberration beruht auf Dispersion: Der Brechungsindex optischen Glases hängt von der Wellenlänge λ des einfallenden Lichts ab. Deshalb werden unterschiedliche Farben nicht völlig gleich abgebildet.

Beim Farbquerfehler beeinflusst der Brechungsindex den Abbildungsmaßstab. Teilbilder verschiedener Wellenlängen sind unterschiedlich groß. Das verursacht Farbsäume an Kanten, die nicht radial verlaufen, und Unschärfe. Die Breite der Farbsäume ist proportional zum Abstand von der Bildmitte.

Beim Farblängsfehler hängt die Schnittweite und damit der Abstand des Bildes von der letzten Fläche des Systems von der Wellenlänge ab. Die Teilbilder unterschiedlicher Farben liegen an verschiedenen Positionen und können nicht gleichzeitig scharf aufgefangen werden. Die entstehende Unschärfe hängt nicht von der Bildhöhe ab. Typisch sind rote Farbsäume vor der eigentlichen Schärfeebene und grüne dahinter.

Dispersion verändert auch die übrigen Abbildungsfehler je nach Wellenlänge: Eine für grünes Licht korrigierte Koma kann bei rotem und blauem Licht noch vorhanden sein. Bei sphärischer Aberration heißt dieser Effekt Gaußfehler; die Bezeichnung wird oft auf weitere Fehler ausgedehnt.

Ein Achromat verwendet Linsengläser mit deutlich verschiedenen Abbe-Zahlen, um den Farbfehler stark zu vermindern. Genauer ist damit ein Objektiv gemeint, bei dem die Änderung der Schnittweite mit der Wellenlänge für eine Wellenlänge verschwindet. Apochromate verwenden Gläser mit ungewöhnlichem Dispersionsverhalten und korrigieren zusätzlich das sekundäre Spektrum. In klassischer Ausführung stimmen die Schnittweiten bei drei Wellenlängen, zum Beispiel Rot, Grün und Blau, überein; dadurch ist der Farblängsfehler auch bei den übrigen Wellenlängen des sichtbaren Lichts sehr gering. Die Kennzeichnung lautet meist APO, und solche Systeme sind in der Regel deutlich teurer als achromatisch korrigierte Produkte.

Fertigung, Umgebung und axialer Astigmatismus

Neben den mathematisch bedingten Fehlern entstehen technisch bedingte Aberrationen, weil reale Bauteile nicht vollkommen genau gefertigt und montiert werden können. Ursachen sind Maß- und Formabweichungen von Linsen und Spiegeln, falsche Positionen der Elemente, abweichende Brechungsindizes, Inhomogenitäten oder Schlieren im Glas sowie Eigen- und Fassungsspannungen, die Spannungsdoppelbrechung verursachen. Abweichungen von der Rotationssymmetrie können die Bildqualität richtungsabhängig machen, etwa links schlechter als rechts; dies heißt Zentrierfehler.

Bei der Konstruktion müssen daher nicht nur Sollwerte für Geometrie und Glaseigenschaften, sondern auch zulässige Abweichungen festgelegt werden. Die nötige Fertigungsgenauigkeit ist ein wichtiger Kostenfaktor; sinnvoll ist es, die Empfindlichkeit gegenüber Fertigungsfehlern schon in die Optimierung einzubeziehen.

Auch Temperaturänderungen verändern Formen, Maße und Brechungsindizes. Große astronomische Instrumente können sich durch einseitige Erwärmung oder Eigengewicht merklich biegen. Besonders langbrennweitige, gut korrigierte Fotoobjektive sind temperaturempfindlich und werden oft weiß lackiert, damit Sonnenbestrahlung sie weniger erwärmt. Turbulenzen und Temperaturunterschiede in der Erdatmosphäre erzeugen ebenfalls Fehler, besonders bei großen Brennweiten und weit entfernten Objekten. Diese Begrenzung heißt allgemein Luftunruhe, in der Astronomie Seeing; adaptive Optiken oder Weltraumteleskope dienen ihrer Korrektur beziehungsweise Vermeidung. Die von der Wellenlänge abhängige astronomische Refraktion kann bei horizontnahen Gestirnen und atmosphärischen Halo-Erscheinungen einen vertikalen Farbsaum erzeugen.

Axialer Astigmatismus entsteht bei unvollkommenen, nicht rotationssymmetrischen Linsen auch für achsparallele Bündel. Je nach Fokussierung wird ein Objektpunkt als längs oder quer gerichteter Strich abgebildet. Er ist für Augenoptik und Elektronenoptik wichtig und kann in der einfachsten Form durch eine passend dimensionierte Zylinderlinse korrigiert werden, etwa durch ein Zylinderglas in der Brille oder einen Stigmator im Elektronenmikroskop. Bei Glaslinsen für sichtbares Licht tritt heute kein nennenswerter axialer Astigmatismus mehr auf.