Pol-Nullstellen-Diagramm

Grundidee und Zweck

Ein Pol-Nullstellen-Diagramm, kurz PN-Diagramm, stellt die Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion eines Systems in der komplexen Zahlenebene dar. Solche Systeme können zum Beispiel elektrische Systeme wie Filter oder mechanische Systeme wie ein Fahrzeug in einer Fahrdynamikregelung sein. Besonders häufig werden PN-Diagramme in der Nachrichtentechnik und in der Regelungstechnik verwendet.

Aus dem Diagramm kann man wichtige Eigenschaften eines Systems ableiten, unter anderem den Betrags- und Phasenverlauf des Frequenzgangs sowie die Impulsantwort und die Sprungantwort. Es dient deshalb als Grundlage für Analyse, Synthese und Stabilitätsbetrachtungen von Schaltungen, Filtern und anderen Übertragungssystemen.

Mathematische Grundlage und Darstellung

Die Übertragungsfunktion, deren Pole und Nullstellen im PN-Diagramm dargestellt werden, ist die Laplace-Transformierte der Impulsantwort oder die z-Transformation eines Systems. Für das Verständnis braucht man Kenntnisse der Mathematik und der Systemtheorie.

Im Diagramm werden Einfachpole üblicherweise durch ein Kreuz, Mehrfachpole durch ein Doppelkreuz und Nullstellen durch einen kleinen Kreis markiert. In der Praxis wird die Erstellung von PN-Diagrammen und die Herleitung von Übertragungsfunktionen oder Systemeigenschaften aus solchen Diagrammen häufig durch Software unterstützt.

Stabilität und Systemverhalten

Aus der Lage der Pole kann man unter anderem erkennen, ob ein System kausal und stabil ist. Pole bestimmen das Zeitverhalten des Systems. Ein System ist stabil, wenn alle Pole der Übertragungsfunktion in der offenen linken Halbebene (LHE) des Diagramms liegen. Hat ein Pol den Realteil 0, liegt er also auf der meist senkrecht gezeichneten imaginären Achse, dann ist das System grenzstabil.

Realisierbare, also kausale Systeme besitzen mindestens so viele Pole wie Nullstellen. Aus dem Abstand aller Pole und Nullstellen zu einer Frequenz im Diagramm lassen sich die Frequenzübertragungseigenschaften abschätzen. Eigenschwingungsvorgänge werden durch zwei konjugiert-komplexe Pole sichtbar. Komplexe Pole in der offenen linken Halbebene deuten auf abklingende Schwingungen hin.

Phasenverhalten

Bewegt man sich auf der Frequenzachse von −∞ nach +∞, beeinflussen Pole und Nullstellen die Phase unterschiedlich. Jeder Pol in der linken Halbebene (LHE) sowie jede Nullstelle in der rechten Halbebene (RHE) dreht die Phase um −π/2. Jede Nullstelle in der LHE bewirkt dagegen eine Phasendrehung um +π/2.

Solche anschaulichen Interpretationen des Diagramms werden mit der Systemtheorie der Nachrichtentechnik gewonnen.

Beispiel Hochpass 2. Ordnung

Als Beispiel wird ein Hochpass 2. Ordnung betrachtet. Seine Übertragungsfunktion lautet:

H(s) = ((s/Ωz)^2) / (1 + s/(Ωp Qp) + (s/Ωp)^2), mit Ωz = Ωp.

Dieser Hochpass 2. Ordnung besitzt ein konjugiert komplexes Polstellenpaar und eine doppelte Nullstelle im Koordinatenursprung. Das System ist damit stabil. Es gehört außerdem zu den minimalphasigen Systemen; solche Systeme haben keine Nullstellen in der rechten Halbebene (RHE).