Beweis des Satzes des Pythagoras nach Garfield

Grundidee und Aufbau

James A. Garfield entwickelte um 1875 einen Flächenbeweis für den Satz des Pythagoras. Der Satz beschreibt den Zusammenhang der Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks: Sind a und b die Kathetenlängen und c die Hypotenusenlänge, so gilt a²+b²=c².

Ausgangspunkt ist ein rechtwinkliges Dreieck ΔABC. Es wird entlang der Strecke BA verschoben und anschließend um den Punkt A um 90° gedreht. Dadurch entsteht das Dreieck ΔA′B′C′. Beide Dreiecke sind kongruent, also deckungsgleich und damit in Form und Größe identisch:

ΔABC ≅ ΔA′B′C′.

Aus der Kongruenz folgen die Übereinstimmungen der Seitenlängen a=a′, b=b′ und c=c′. Im ursprünglichen Dreieck gilt nach dem Innenwinkelsummensatz α+β+γ=180°. Da der Winkel γ=90° beträgt, folgt α+β=90°.

Der Winkel ∠CAC′ ist ein gestreckter Winkel von 180°. Zusammen mit α+β=90° ergibt sich daraus ∠A′B′B=90°. Somit sind die drei Dreiecke der Konstruktion rechtwinklig. Durch das Einzeichnen der Strecke BA′ entsteht außerdem ein Trapez.

Flächenvergleich und Beweis

Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Hälfte des Produkts seiner Kathetenlängen:

A = 1/2·a·b.

Für ein Trapez gilt A_Trapez=1/2·(a+b′)·h. Wegen b′=b und der Höhe h=a+b besitzt das konstruierte Trapez den Flächeninhalt

1/2·(a+b)(a+b).

Dasselbe Trapez setzt sich aus drei rechtwinkligen Dreiecken zusammen. Zwei davon haben jeweils den Flächeninhalt 1/2·ab. Beim dritten Dreieck sind beide Katheten c lang, sodass sein Flächeninhalt 1/2·c² beträgt. Deshalb gilt die Flächengleichung

1/2·(a+b)(a+b)=1/2·ab+1/2·ab+1/2·c².

Mit der binomischen Formel und einfachen Umformungen erhält man:

1/2·(a²+2ab+b²)=ab+1/2·c², a²+2ab+b²=2ab+c², a²+b²=c².

Damit ist der Satz des Pythagoras bewiesen.

Folgerung für die Seitenlängen

Aus der Konstruktion folgt für jedes rechtwinklige Dreieck mit den Kathetenlängen a und b und der Hypotenusenlänge c die Ungleichung

a+b≤c√2.

Gleichheit gilt genau dann, wenn a=b ist, also wenn beide Katheten gleich lang sind. In diesem besonderen Fall ist das beim Beweis entstehende Trapez ein Rechteck.

Folgerung für Sinus und Kosinus

Für jeden Winkel α gilt außerdem

|sin α+cos α|≤√2.

Zur Begründung setzt man a=|sin α| und b=|cos α|. Mit der Dreiecksungleichung für reelle Zahlen erhält man zunächst

|sin α+cos α|≤|sin α|+|cos α|.

Die zuvor hergeleitete Ungleichung für die Katheten liefert dann

|sin α|+|cos α|≤√2.

Zusammen ergibt sich

|sin α+cos α|≤|sin α|+|cos α|≤√2.