Sexagesimalsystem

Grundidee und heutige Verwendung

Das Sexagesimalsystem, auch Hexagesimalsystem oder Sechziger-System genannt, ist ein Zahlensystem zur Basis 60. Anders als im Dezimalsystem werden Stellenwerte also mit Potenzen von 60 gebildet. Seine größte Bedeutung erlangte es in der babylonischen Hochkultur, besonders für Astronomie, Messtechnik und Mathematik.

Die Einteilung in 60er-Einheiten ist bis heute erhalten: Ein Grad hat 60 Winkelminuten, eine Winkelminute 60 Sekunden. Entsprechend hat eine Stunde 60 Minuten und eine Minute 60 Sekunden. Im Spätmittelalter teilten einige Mathematiker die Sekunde noch in Tertien, also weitere Untereinheiten, ein; diese Einteilung setzte sich jedoch nicht durch.

Entstehung und sumerische Zahlenschrift

Die ältesten schriftlichen Nachweise eines sexagesimalen Rechensystems stammen aus der Zeit der Sumerer um 3300 v. Chr. Dieses frühe System war zunächst ein Additionssystem. Ab etwa 2000 v. Chr. verwendete die babylonische Mathematik ein sexagesimales Stellenwertsystem. Die wichtigsten mathematischen Quellen stammen aus der Zeit von 1900 v. Chr. bis 1600 v. Chr.; die ältesten Tabellentexte reichen noch in die neusumerische Zeit zurück.

Als mögliche Gründe für die Wahl der Basis 60 werden verschiedene Erklärungen genannt. Viele Historiker sehen einen Zusammenhang mit der Astronomie: Das babylonische Jahr hatte 12 Monate zu 30 Tagen, ungefähr alle drei Jahre kam ein 13. Schaltmonat hinzu. Andere Wissenschaftler betonen praktische Vorteile beim Zählen und Messen, etwa im Handel. Die 60 ist eine hochzusammengesetzte Zahl mit 12 Teilern und ermöglicht dadurch die einfache Darstellung vieler Teilungen. Die Gründe für die Wahl sind somit nicht eindeutig geklärt.

Die Sumerer verwendeten für 1 und 60 unterschiedlich große Halbellipsen sowie für 10 und 3600 = 60² unterschiedlich große Kreise. Die Zeichen wurden mit zylinderförmigen Griffeln in Tontafeln gedrückt. Weitere Zeichen entstanden durch Kombinationen: 600 = 10 · 60 und 36 000 = 10 · 60². Daneben bestanden ein dezimales System mit den Stufen 1, 10 und 100 sowie ein weiteres System aus akkadischer Zeit. Bis in die spätsumerische Zeit veränderten sich die Formen, behielten aber ihren individuellen Charakter und bildeten ein Additionssystem ähnlich den römischen Zahlen.

Die Zahl 60 hieß gesch. Vielfache wurden unter anderem gesch-min = 120, gesch-esch = 180, gesch-limmu = 240, gesch-iá = 300, gesch-asch = 360, gesch-imin = 420, gesch-ussu = 480, gesch-ilummu = 540 und gesch-u = 600 genannt. Danach wurde nicht in 60er-, sondern in 600er-Schritten weitergezählt: Sechsmal 600 ergaben 3600, genannt schàr. 36 000 hieß schàr-u, 216 000 schàr-gal und 2 160 000 schàr-gal-u. Die sechste Vielfache von schàr-gal-u, also 12 960 000 = 60⁴, trug den Namen schàr-gal-shu-nu-tag. Die Zahlennamen von 10 bis 60 besaßen eine dezimale und teilweise eine vigesimale Struktur, zum Beispiel 30 = uschu = esch-u = 3 · 10 und 40 = nischmin = nisch-min = 20 · 2.

Babylonische Struktur und Schreibweise

Das spätere babylonische System verband ein Additionssystem mit einem darübergelegten Stellenwertsystem zur Basis 60. Es war jedoch noch nicht vollständig zu einem Stellenwertsystem nach heutigen Maßstäben entwickelt. Die Zahlenwerte 1 bis 59 wurden mit einer Hilfsbasis 10 aus nur zwei Grundziffern zusammengesetzt: dem Zeichen für eins, das höchstens neunmal vorkam, und dem Zeichen für zehn, das höchstens fünfmal vorkam.

Für die Werte 1 bis 59 wurden diese beiden Keilschrift-Ziffern in der erforderlichen Anzahl wiederholt. Ein Zahlzeichen mit einem Wert über 60 entstand, indem zwei oder mehr solcher Zeichen nebeneinander geschrieben wurden. Dadurch war die Anzahl der möglichen Zahlzeichen unbegrenzt. Beispiele für zusammengesetzte Zahlzeichen sind 62, 122, 129 und 131.

Ein wesentliches Problem war, dass sowohl eine eigentliche Null als auch zunächst ein eindeutiges Zeichen für eine unbelegte Stelle fehlten. Der Wert 60 besaß daher keinen Eintrag auf der Einerstelle. Der Stellenwert eines Zeichens war beim Lesen nicht immer eindeutig: Dasselbe Zeichen konnte beispielsweise 30, 30 · 60 oder 30/60 bedeuten. Die Bedeutung musste sich aus dem Zusammenhang ergeben.

Später ließ man bei einer fehlenden Stelle eine Lücke. Ab dem 6. Jahrhundert v. Chr. wurde ein Leerzeichen ohne Wert verwendet. Es war jedoch keine Ziffer mit dem Wert null und wurde nicht als eigenständiges Zahlzeichen zum Rechnen benutzt. Die heutige Null als Zahlzeichen ist eine spätere Erfindung indischer Gelehrter.

In moderner Wiedergabe schreibt man die einzelnen Sexagesimal-Zahlzeichen als Dezimalzahlen und trennt sie durch Kommas. Ganzzahlige Stellen werden von gebrochenen Stellen durch ein Semikolon getrennt; fehlende Stellen werden zur Interpretation mit 0 angegeben. So bedeutet 30,0 = 30 · 60 + 0, während 0;30 = 0 + 30/60 ist.

Rechenverfahren und Quadratwurzeln

Addition und Subtraktion funktionierten grundsätzlich wie im Dezimalsystem. Die jeweils vorhergehende Stelle wurde um 1 erweitert oder reduziert, wenn eine Stelle über- oder unterschritten wurde. Die historischen Bezeichnungen lauteten „Vermehren“ für Addition und „Wegziehen“ für Subtraktion. Eine negative Differenz wurde als „Subtrahend geht darüber hinaus“ bezeichnet. Die Symbole + und − führte erst Johannes Widmann im 15. Jahrhundert n. Chr. ein.

Ein Beispiel für eine Addition ist: 59 + 11 + 20 = 1,30 = 90. Die 1 vor dem Komma steht für 1 · 60; hinzu kommen 30 Einheiten. Bei einer Subtraktion gilt: 4,40 − 1,40 − 1,50 = 1,10 = 70. Dabei entsprechen die Stellen vor dem Komma 4 · 60 beziehungsweise 1 · 60.

Bei der Multiplikation wurde ebenfalls nach dem Prinzip des Dezimalsystems gerechnet. Die Babylonier hätten allerdings Produkte von 1 · 1 bis 59 · 59 beherrschen müssen. Deshalb verwendeten sie Multiplikationstabellen. Eine Tabellenzeile enthielt eine Kopfzahl, den Multiplikator und das Ergebnis. Die Multiplikatoren reichten von 1 bis 20 sowie zusätzlich 30, 40 und 50. Es gab auch Tabellen für Kopfzahlen wie 1,40 = 100 und 16,40 = 1000. Benötigte Zahlen wurden gegebenenfalls aus mehreren Tabellenwerten zusammengesetzt.

Das Verfahren zeigt das Beispiel: 29 · 1,12 = 29 · 1,0 + 20 · 0,12 + 9 · 0,12 = 29,00 + 4,00 + 1,48 = 34,48.

Division wurde als Multiplikation mit dem Kehrwert durchgeführt: a : n = a · 1/n. Ein Kehrwert konnte aus einer Multiplikationstabelle entnommen werden, wenn n eine Potenz von 60 teilte. Galt n · m = 60ˡ, dann war m/60ˡ = 1/n. Zusätzlich gab es Reziprokentabellen, also Tabellen mit Zahlenpaaren n und 1/n. Beispiele sind 2 und 30, 3 und 20, 4 und 15, 5 und 12, 6 und 10, 10 und 6, 20 und 3, 30 und 2 sowie 60 und 1. Zahlen, deren Primfaktoren größer oder gleich 7 waren und die keinen passenden Kehrwert besaßen, wurden als „ist nicht“ gekennzeichnet; für sie verwendete man Näherungswerte.

Aus den Tabellen folgt beispielsweise 1/3 = 0;20, 1/20 = 0;3 und 4 : 3 = 4 · 0;20 = 1;20. Ein weiteres Beispiel lautet 0;12 : 25 = 0;12 · 0;2,24 = 0;0,28,48.

Für Quadratwurzeln nutzten die Babylonier die bereits im altbabylonischen Reich bekannte Näherungsformel √(a² ± b) ≈ a ± b/(2a). Für √2 ergibt sich mit a = 1;20 und b = 0;13,20 zunächst: √2 = √(1;20² + 0;13,20) ≈ 1;20 + 0;5 = 1;25. Das entspricht 17/12 ≈ 1,41666667. Eine babylonische Tontafel, Yale Babylonian Collection 7289, enthält den genaueren Wert 1;24,51,10 = 305470/216000 ≈ 1,41421296. Aus dem arithmetischen Mittel von 1;25 und 1;24,42,21 erhält man ebenfalls näherungsweise 1;24,51,10. Auf der Tontafel werden die Seitenlänge eines Quadrats mit 30 und die Diagonale mit 42,25,35 angegeben: 0;30 · 1;24,51,10 = 0;42,25,35.

Zählen mit Fingern und Fingergliedern

Das hier beschriebene Fingerzählen erklärt eine mögliche praktische Grundlage für das Zählen bis 60. Es funktioniert jedoch nach 5 · 12 und nicht nach 6 · 10 wie das mathematische Sexagesimalsystem.

Mit einer Hand zählt man bis 12. Der Daumen dient als Zeiger und berührt nacheinander die drei Fingerglieder der vier übrigen Finger: zuerst die Glieder des kleinen Fingers, dann die des Ring-, Mittel- und Zeigefingers. Die Reihenfolge ist: 1 oberes, 2 mittleres, 3 unteres Glied des kleinen Fingers; 4 bis 6 die drei Glieder des Ringfingers; 7 bis 9 die des Mittelfingers; 10 bis 12 die des Zeigefingers. Das Grundprinzip lautet 4 · 3 = 12.

Für das Zählen bis 60 merkt man mit der zweiten Hand die bereits gezählten Dutzende. Nach dem ersten Dutzend wird ein Finger der zweiten Hand ausgestreckt, nach dem zweiten Dutzend ein zweiter und so weiter. Mit fünf Fingern lassen sich fünf Dutzende der ersten Hand zählen: 5 · 12 = 60. Danach kann die erste Hand noch ein weiteres Dutzend anzeigen, sodass auch bis 72 gezählt werden kann. Wird die zweite Hand ebenfalls zum Zählen ihrer Fingerglieder verwendet, sind 12 · 12 = 144, ein Gros, beziehungsweise 156 erreichbar. Dieses Fingerzählsystem existiert noch in Teilen der Türkei, des Irak, in Indien und Indochina.

Für größere Mengen können Stöcke, Steine, Striche oder die zehn Finger eines Helfers dienen. Jeweils fünf Dutzend, also 60, werden mit einem Hilfsmittel gemerkt. Mit den zehn Fingern eines Helfers kann man bis 10 · 60 = 600 zählen. Wendet der Helfer ebenfalls das 60er-Fingerzählsystem an, reicht die Zählung bis 60 · 60 = 3600.