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Alternierende Matrix

Eine alternierende Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, die schiefsymmetrisch ist und deren Hauptdiagonaleinträge alle gleich null sind.

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Inhalt5 Abschnitte
  1. 1. Begriff und Bedeutung
  2. 2. Besonderheit in Charakteristik 2
  3. 3. Zusammenhang mit Bilinearformen
  4. 4. Rang und Normalform
  5. 5. Determinante

Begriff und Bedeutung

Eine alternierende Matrix ist eine quadratische Matrix A=(a_ij) über einem Körper K. Sie erfüllt

  • a_ij=-a_ji für alle i,j=1,…,n,
  • a_ii=0 für alle i=1,…,n.

Sie ist also schiefsymmetrisch und hat auf der Hauptdiagonale nur Nullen. Hat K Charakteristik ungleich 2, folgt a_ii=0 bereits aus der Schiefsymmetrie. In Charakteristik 2 ist diese zusätzliche Bedingung nötig. Alternierende Matrizen beschreiben alternierende Bilinearformen und ihre Determinanten lassen sich bei gerader Größe über die pfaffsche Determinante bestimmen.

Besonderheit in Charakteristik 2

Für K=F_2, den Körper der Restklassen modulo 2, gilt 1+1=0; der Körper hat also Charakteristik 2. Die alternierenden 2×2-Matrizen sind

(0 0; 0 0) und (0 1; 1 0).

Bei 3×3-Matrizen gibt es insgesamt acht alternierende Matrizen über F_2. In diesem Körper sind schiefsymmetrische Matrizen zugleich symmetrisch, weil -1=1 gilt. Sie müssen aber nicht alternierend sein: Schiefsymmetrische beziehungsweise symmetrische Matrizen dürfen dort auch Einsen auf der Hauptdiagonale besitzen.

Zusammenhang mit Bilinearformen

Zu einer alternierenden Matrix A∈K^(n×n) gehört die Bilinearform

B_A(x,y)=x^T A y.

Sie ist alternierend, das heißt: B_A(x,x)=0 für alle x∈K^n. Umgekehrt hat jede alternierende Bilinearform B:V×V→K auf einem endlichdimensionalen Vektorraum V bezüglich jeder Basis {b_1,…,b_n} eine alternierende Darstellungsmatrix

A_B=(B(b_i,b_j)).

Rang und Normalform

Der Rang r einer alternierenden Matrix ist immer gerade. Außerdem gibt es eine reguläre Matrix P, sodass sich A durch die Kongruenztransformation P^TAP in die Form

(0 I 0; -I 0 0; 0 0 0)

bringen lässt. Dabei ist I die Einheitsmatrix der Größe r/2×r/2. Gleichwertig besteht eine Normalform aus genau r/2 Blöcken

T=(0 1; -1 0)

auf der Diagonale; die übrigen Einträge bilden einen Nullblock.

Determinante

Für gerade n gilt

det A=Pf(A)^2,

wobei Pf(A) die pfaffsche Determinante von A ist. Für ungerade n gilt stets

det A=0.

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