Kongruenz (Matrix)

Begriff und Definition

In der linearen Algebra heißen zwei quadratische Matrizen A und B kongruent, wenn es eine invertierbare Matrix P gibt, sodass gilt: B = P^T A P. Dabei bezeichnet P^T die transponierte Matrix zu P, also die Matrix, bei der Zeilen und Spalten vertauscht sind.

Kongruenz beschreibt damit eine bestimmte Beziehung zwischen quadratischen Matrizen. Diese Beziehung ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der quadratischen Matrizen. Das bedeutet: Jede Matrix ist zu sich selbst kongruent, die Beziehung ist umkehrbar, und sie lässt sich verketten.

Bedeutung über Bilinearformen

Eine gleichwertige Definition lautet: Zwei Matrizen sind kongruent, wenn sie bezüglich zweier, möglicherweise unterschiedlicher Basen dieselbe Bilinearform darstellen. Eine Bilinearform ist eine Abbildung, die von zwei Vektoren abhängt und in jedem der beiden Argumente linear ist.

Die Kongruenz von Matrizen ist daher besonders wichtig, wenn man untersucht, wie sich die Darstellung einer Bilinearform verändert, sobald man die Basis wechselt. Die Matrix kann sich dabei ändern, aber die dargestellte Bilinearform bleibt dieselbe.

Reelle symmetrische Matrizen

Für reelle symmetrische Matrizen gilt nach dem sylvesterschen Trägheitssatz: Zwei solche Matrizen sind genau dann kongruent, wenn sie denselben Trägheitsindex besitzen.

Der Trägheitsindex ist ein Tripel. Es besteht aus der Anzahl positiver Eigenwerte, der Anzahl negativer Eigenwerte und der Anzahl der Null-Eigenwerte. Eigenwerte sind Zahlen, die zu einer Matrix gehören und wichtige Eigenschaften der durch die Matrix beschriebenen linearen Abbildung ausdrücken.