0,999… – einfach erklärt

Bedeutung der Dezimalschreibweise

Die periodische Dezimalzahl 0,999… (auch 0,(9)) bezeichnet in den reellen Zahlen dieselbe Zahl wie 1. Die Schreibweisen sind also zwei Darstellungen eines Werts, nicht zwei verschiedene Zahlen.

Jede abbrechende Dezimalzahl ungleich 0 hat eine zweite Darstellung mit unendlich vielen Neunern: 8,32 = 8,31999… und 0,25 = 0,24999…. Meist wird die abbrechende Form nur gewählt, weil sie kürzer ist. Entsprechend gilt in einer Basis q: Die Ziffer mit Wert q − 1 kann unendlich wiederholt werden. Beispielsweise ist 0,111… im Dualsystem und 0,222… im Ternärsystem jeweils 1.

Schulmathematische Begründungen

Elementare Beweise setzen voraus, dass periodische Dezimalbrüche rationale Zahlen darstellen und dass die üblichen Rechenverfahren auch für nicht abbrechende Dezimalentwicklungen gelten.

Aus 1/9 = 0,111… folgt durch Multiplikation mit 9: 0,999… = 9 · 1/9 = 1. Gleichwertig ist 1/3 = 0,333… und damit 3 · 0,333… = 1.

Setzt man x = 0,999…, dann ist 10x = 9,999…. Die Subtraktion ergibt 10x − x = 9, also 9x = 9 und x = 1. Auch die schriftliche Subtraktion 1 − 0,999… ergibt 0,000…. Ein Mittelwertargument lautet: Wären 0,999… und 1 verschieden, läge ihr Durchschnitt (0,999… + 1)/2 zwischen ihnen; dieser ist aber 1,999…/2 = 0,999….

Für ein Stellenwertsystem zur Basis q entspricht die Standardnotation 0,999… dem Bruch 9/(q − 1). Bei q = 10 gilt daher 0,999… = 9/(10 − 1) = 9/9 = 1. Eine rein stellenweise Ordnung würde zunächst 0,999… < 1 ergeben. Reelle Zahlen sollen aber dicht geordnet sein: Zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen liegt immer eine dritte. Zwischen 0,999… und 1 kann es keine Zahl geben; daher stehen die beiden Schreibweisen für dieselbe reelle Zahl.

Reihen und Grenzwerte

Eine Dezimalzahl kann als unendliche Reihe verstanden werden: d₀,d₁d₂… = d₀ + d₁(1/10) + d₂(1/10)² + …. Für geometrische Reihen gilt bei |r| < 1: ar + ar² + ar³ + … = ar/(1 − r). Mit a = 9 und r = 1/10 folgt:

0,999… = 9/10 + 9/10² + 9/10³ + … = [9(1/10)]/[1 − 1/10] = 1.

Heute wird eine unendliche Reihe gewöhnlich als Grenzwert ihrer Partialsummen definiert. Eine Folge hat den Grenzwert x, wenn für jedes ε > 0 ab einem Folgenglied alle weiteren Glieder weniger als ε von x entfernt sind. Für (0,9; 0,99; 0,999; …) gilt:

limₙ→∞ (1 − 1/10ⁿ) = 1 − limₙ→∞ 1/10ⁿ = 1.

Der letzte Grenzwert ist wegen der archimedischen Eigenschaft der reellen Zahlen 0. Bei dieser Interpretation haben Stellen nach einer unendlichen Periode keine Auswirkung: Auch 0,999…1 ist als Grenzwert von (0,1; 0,91; 0,991; …) wieder 1.

Konstruktionen der reellen Zahlen

Reelle Zahlen können aus rationalen Zahlen unter anderem mit Dedekindschen Schnitten, Cauchy-Folgen oder Intervallschachtelungen konstruiert werden. Diese Ansätze machen direkt verständlich, warum 0,999… und 1 gleich sind.

Ein Dedekindscher Schnitt teilt ℚ in zwei nichtleere Mengen L|R, sodass für alle l ∈ L und r ∈ R gilt: l < r. Zur linken Menge von 0,999… gehören die rationalen Zahlen kleiner als 1 − (1/10)ⁿ für eine endliche Anzahl n von Neunern. Das sind genau alle rationalen Zahlen kleiner als 1. Der Schnitt heißt daher 1.

Eine Cauchy-Folge hat die Eigenschaft, dass ihre Glieder ab einer Stelle beliebig nahe beieinander liegen. Reelle Zahlen können als Äquivalenzklassen solcher Folgen definiert werden; zwei Folgen sind äquivalent, wenn ihre Differenz eine Nullfolge ist. Die Folgen (1, 1, 1, …) und (0,9; 0,99; 0,999; …) sind äquivalent, denn limₙ→∞ 1/10ⁿ = 0.

Bei Intervallschachtelungen wachsen die linken Grenzen monoton, die rechten fallen monoton, und die Intervalllängen bilden eine Nullfolge. Die Schachtelung ([0, 1], [0,9, 1], [0,99, 1], …) für 0,999… ist äquivalent zur Schachtelung ([1, 2], [1, 1,1], [1, 1,01], …) für 1.

Verallgemeinerungen und Anwendungen

In nicht ganzzahligen Basen können noch mehr Darstellungen eines Werts vorkommen. Im Phinärsystem mit φ = (1 + √5)/2 ist 1 unter anderem 0,101010…. Für fast alle q zwischen 1 und 2 gibt es überabzählbar unendlich viele Basis-q-Darstellungen von 1. Die kleinste Basis, für die 1 außer der trivialen Darstellung (1) nur eine weitere Darstellung besitzt, ist die Komornik-Loreti-Konstante 1,787231650…; dort ist 1 = 0,11010011001011010010110011010011…, mit Stellen aus der Thue-Morse-Folge.

Weitere Beispiele sind 1/2 = 0,111… = 1,111… im balancierten Ternärsystem und 1 = 0,1234… im umgekehrten fakultätsbasierten Zahlensystem mit den Basen 2!, 3!, 4!, … für Nachkommastellen.

Der Satz von Midy betrifft vollständig gekürzte Brüche a/p mit primem Nenner p: Hat ihre Periode eine gerade Stellenzahl, ist die Summe ihrer beiden Periodenhälften eine Folge von Neunern. Beispiele sind 1/7 = 0,142857142857… mit 142 + 857 = 999 sowie 1/73 = 0,0136986301369863… mit 0136 + 9863 = 9999.

Die Cantor-Menge besteht aus den Zahlen in [0, 1], die im Ternärsystem nur die Ziffern 0 und 2 haben. So ist 1 = 0,222…₃, 1/3 = 0,1₃ = 0,0222…₃ und 1/4 = 0,020202…₃. Beim Cantorschen Diagonalargument muss eine Dezimaldarstellung so gewählt werden, dass die Mehrdeutigkeit abbrechender Darstellungen nicht irrtümlich eine schon vorhandene Zahl erzeugt.

Abweichende Deutungen und andere Systeme

Zweifel an 0,999… = 1 entstehen etwa aus der Annahme einer eindeutigen Dezimaldarstellung, aus der Auffassung von 0,999… als Folge statt als Grenzwert oder aus der Vorstellung eines direkten Vorgängers von 1. Diese Deutungen gehören nicht zur üblichen reellen Dezimalnotation, können aber in eigens definierten Strukturen vorkommen.

Hyperreelle Zahlen enthalten Infinitesimalzahlen. Für eine unendliche hypernatürliche Zahl ω kann 0,999… als 1 − 1/10^ω interpretiert werden; diese Zahl ist kleiner als 1. Dagegen bleibt bei dualen Zahlen mit ε² = 0 unter den üblichen Dezimalkonventionen 0,999… = 1.

Im blauroten Hackenbush stehen unterschiedliche unendliche Binärdarstellungen für unterschiedliche Spielpositionen. Daher ist dort der Wert von 0,111…₂ infinitesimal kleiner als 1, anders als bei reellen Zahlen.

Fred Richman beschreibt ein System buchstäblicher Dezimaldarstellungen mit lexikographischer Ordnung, in dem 0,999… < 1 gilt, aber die Addition nicht gekürzt werden kann: Für jedes nicht abbrechende x ist 0,999… + x = 1 + x. In seinem Schnitt D gilt 0,999… = 1 + 0⁻, wobei 0⁻ eine negative Infinitesimalzahl ohne Dezimaldarstellung ist.

Bei 10-adischen Zahlen ist die links unendliche Darstellung …999 gleich −1, weil …999 + 1 = …000 = 0. Die Reihe 9 + 9·10 + 9·10² + … konvergiert dort zu 9/(1 − 10) = −1, aber nicht in den reellen Zahlen. Verwandte Fragen betreffen unter anderem Zenons Paradoxien, die in den reellen Zahlen meist undefinierte Division durch null und die Schreibweise −0, die gewöhnlich 0 bedeutet, bei IEEE-754-Gleitkommazahlen aber unterschieden wird.