Äquidistanz (Geometrie)

Bedeutung der Äquidistanz

Äquidistanz ist in der Geometrie die Eigenschaft von Punkten in der Ebene oder im Raum, zu zwei vorgegebenen geometrischen Objekten den gleichen Abstand zu haben. Solche Objekte können Punkte, Kurven oder Flächen sein. Die Menge aller gleich weit entfernten Punkte bildet je nach Situation eine Äquidistanz-Kurve oder eine Äquidistanz-Fläche.

Der Abstand eines Punktes P mit Ortsvektor p zu einem Punkt Q mit Ortsvektor q ist der euklidische Abstand d(P,Q) = |p − q|. Der Abstand d(P,c) eines Punktes P zu einer Kurve c ist der kleinste euklidische Abstand von P zu einem Punkt auf c. Bei glatten Kurven ist dies die Länge des kürzesten Lots auf die Kurve; möglich ist auch, dass der nächstgelegene Punkt ein Randpunkt der Kurve ist. Der Abstand zu einer Fläche wird entsprechend definiert.

In der englischsprachigen Literatur heißen Äquidistanz-Kurven und -Flächen „bisector curves“ beziehungsweise „bisector surfaces“.

Typische Äquidistanz-Kurven

Bekannte geometrische Kurven lassen sich als Mengen gleich weit entfernter Punkte beschreiben:

• Jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten einer Strecke hat zu deren beiden Endpunkten den gleichen Abstand.
• Jeder Punkt auf einer Winkelhalbierenden zweier sich schneidender Geraden hat zu beiden Geraden den gleichen Abstand.
• Bei einer Parabel hat jeder Punkt den gleichen Abstand zum Brennpunkt und zur Leitlinie.
• Bei einer Ellipse hat jeder Punkt den gleichen Abstand zu einem Brennpunkt und zu einem Leitkreis.
• Bei einer Hyperbel hat jeder Punkt ebenfalls den gleichen Abstand zu einem Brennpunkt und zu einem Leitkreis.

Äquidistanz-Kurven oder -Flächen dürfen nicht mit Parallelkurven oder Parallelflächen verwechselt werden: Bei einer Parallelkurve haben alle ihre Punkte denselben Abstand zu einer einzigen vorgegebenen Kurve oder Fläche. Bei Äquidistanz geht es dagegen um die Gleichheit der Abstände zu zwei Objekten.

Mathematische Beschreibung und Raumbeispiele

Eine Äquidistanz-Kurve lässt sich grundsätzlich mit Distanzfunktionen beschreiben. Wichtige einfache Fälle sind der Abstand zweier Punkte im R²,

d = √((x₁ − x₂)² + (y₁ − y₂)²),

der Abstand eines Punktes von einer Geraden sowie für einen Kreis mit Mittelpunkt (x₀,y₀) und Radius r der Abstand eines Punktes (x,y):

d = |√((x − x₀)² + (y − y₀)²) − r|.

Für andere Objekte gibt es meist keine einfache Formel für die Distanzfunktion und damit auch keine einfache Beschreibung der Äquidistanz-Kurve oder -Fläche. Untersucht werden Sonderfälle, in denen eine Beschreibung durch rationale Funktionen möglich ist. Andernfalls verwendet man numerische Verfahren und eine implizite Darstellung, also eine Gleichung, die die gesuchte Kurve oder Fläche festlegt. Orientierte Distanzfunktionen können zusätzlich durch ihr Vorzeichen die Seiten einer Kurve in der Ebene oder einer Fläche im Raum unterscheiden.

Für zwei Bézierkurven c₁ und c₂ liegt ein Punkt (x,y) genau dann auf ihrer Äquidistanz-Kurve, wenn d(x,y;c₁) = d(x,y;c₂). Eine implizite Gleichung lautet daher d(x,y;c₁) − d(x,y;c₂) = 0. Um Punkte daraus zu berechnen, müssen die Distanzfunktionen numerisch ausgewertet werden.

Im Raum entstehen Äquidistanz-Flächen analog, auch zwischen Punkten, Kurven und Flächen. Für die windschiefen Geraden g₁: y² + z² = 0 und g₂: x² + (z − 1)² = 0 lautet die Ausgangsgleichung √(y² + z²) − √(x² + (z − 1)²) = 0. Nach dem Beseitigen der Wurzeln ergibt sich z = (x² − y² + 1)/2; die Fläche ist ein hyperbolisches Paraboloid. Weitere gezeigte Fälle sind die Äquidistanz-Fläche einer Geraden x² + y² = 0 und der Helix (cos t, sin t, 0.5t) sowie einer Bézierkurve und einer Bézierfläche.