Analysis, Vektoren & Matrizen

Verbindungsvektor in 3D berechnen

Wie berechnest du den Verbindungsvektor \overrightarrow{AB} im Raum und wie lang ist er?

Deine Werte

Gegeben sind

zwei Punkte A und B die Komponenten des Vektors

a_1Punkt A

a_2

a_3

b_1Punkt B

b_2

b_3

v_1Vektor \vec v = \overrightarrow{AB}

v_2

v_3

Einheit

Längeneinheiten (LE) cm m km

Beispiele zum Ausprobieren

Ergebnis

…

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Rechenweg

Selbst mitrechnen

\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \\ b_2 - a_2 \\ b_3 - a_3 \end{pmatrix}, \qquad |\vec v| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}

1Verbindungsvektor: „Spitze minus Fuß“ – \overrightarrow{AB} = B - A, also v_1 = b_1 - a_1 usw.
2Die drei Komponenten quadrieren und addieren.
3Die Wurzel ziehen: |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} – das ist auch der Abstand der Punkte A und B.
4Im Schrägbild: erst v_1 entlang der x_1-Achse, dann v_2, dann v_3 – die Treppe führt von A nach B.

Fuß minus Spitze: \overrightarrow{AB} = B - A, nicht A - B. Mit A(1 \mid 2 \mid 0) und B(4 \mid 6 \mid 3) ist \overrightarrow{AB} = (3 \mid 4 \mid 3) – andersherum zeigt der Pfeil von B nach A (die Länge bleibt gleich).
Dritte Komponente vergessen: \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 ist nur die Länge im Grundriss; mit v_3 = 3 ist |\vec v| = \sqrt{34} \approx 5{,}83.
Minus beim Quadrieren: (-4)^2 = 16, nicht -16 – unter der Wurzel steht nie etwas Negatives.

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