Mathematik · Klasse 12 · aktualisiert
Gerade in Parameterform: aufstellen und prüfen
Die Parameterform beschreibt eine Gerade mit Aufpunkt und Richtung. Du lernst, sie aus zwei Punkten aufzustellen und Punkte zu prüfen.
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Kurz gesagt
Eine Gerade in Parameterform lautet \vec x=\vec p+s\vec u mit s\in\mathbb R. Der Stützvektor \vec p führt zu einem Punkt der Geraden, der Richtungsvektor \vec u\ne\vec 0 gibt die Richtung an. Durch zwei Punkte P und Q gilt \vec x=\vec p+s(\vec q-\vec p).
Eine Gerade in Parameterform besteht aus einem Punkt auf der Geraden und einer Richtung. Der Parameter bestimmt, wie weit du dich vom gewählten Punkt in diese Richtung oder in die Gegenrichtung bewegst. Stell dir eine Seilbahn vor, die geradlinig den Berg hinauffährt: Die Station ist der Aufpunkt, die Fahrtrichtung ist der Richtungsvektor.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine Gerade wird so beschrieben: g:\vec x=\vec p+s\vec u,\qquad s\in\mathbb R,\quad \vec u\ne\vec 0 Der Richtungsvektor \vec u gibt an, in welcher Richtung die Gerade verläuft. Er darf nicht der Nullvektor sein, sonst entsteht beim Verändern des Parameters keine Gerade, sondern nur ein Punkt. Der Parameter s kann jede reelle Zahl annehmen. Bei s=0 erhältst du den Aufpunkt. Bei s>0 bewegst du dich in Richtung von \vec u, bei s<0 in die Gegenrichtung.
Definition
Stützvektor
Der Stützvektor \vec p ist der Ortsvektor eines bekannten Punkts auf der Geraden. Dieser Punkt heißt auch Aufpunkt.
Beispiel: Punkte der Geraden g in der Ebene
- 1g:\vec x=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}
- 2s=0: Aufpunkt (2|2)
- 3s=1: \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}
- 4Also liegt auch (4|1) auf g.
Merke: Aufpunkt plus Parameter mal Richtung beschreibt alle Punkte der Geraden.
Teste dich
Sind zwei verschiedene Punkte P und Q gegeben, kannst du P als Aufpunkt wählen. Die Richtung von P nach Q erhältst du durch komponentenweises Subtrahieren: \overrightarrow{PQ}=\vec q-\vec p. Damit lautet die Zweipunkteform g:\vec x=\vec p+s(\vec q-\vec p). Beim Subtrahieren muss die Reihenfolge in allen Komponenten gleich bleiben. Wenn du mit Q-P beginnst, darfst du nicht in einer einzelnen Komponente plötzlich P-Q rechnen.
Beispiel: Gerade durch P=(7|-1|8) und Q=(9|1|4)
- 1Aufpunkt: P, also \vec p=\begin{pmatrix}7\\-1\\8\end{pmatrix}
- 2Richtung: \overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}9-7\\1-(-1)\\4-8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\-4\end{pmatrix}
- 3h:\vec x=\begin{pmatrix}7\\-1\\8\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\2\\-4\end{pmatrix},\ s\in\mathbb R
- 4Kontrolle: s=0 liefert P, s=1 liefert P+\overrightarrow{PQ}=Q.
Teste dich
Einen Punkt erzeugen: Setze einen Parameterwert in die Geradengleichung ein und berechne jede Koordinate. Für h von oben liefert s=2 die Koordinaten 7+2\cdot2=11, -1+2\cdot2=3 und 8+2\cdot(-4)=0. Der Punkt M=(11|3|0) liegt also auf h. Eine Punktprobe durchführen: Du setzt die Koordinaten des zu prüfenden Punkts für \vec x ein und löst jede Koordinatengleichung nach s auf. Alle Gleichungen müssen denselben Parameterwert liefern.
Beispiel: Punktprobe mit M=(11|3|0) und N=(11|3|1) für h
- 1M: 11=7+2s, 3=-1+2s, 0=8-4s
- 2Jede Gleichung liefert s=2. Also liegt M auf h.
- 3N: Die ersten beiden Koordinaten verlangen wieder s=2.
- 4Dritte Koordinate bei s=2: 8-4\cdot2=0, nicht 1
- 5Also liegt N nicht auf h.
Merke: Ein Punkt liegt genau dann auf der Geraden, wenn ein einziger gemeinsamer Parameterwert alle Koordinatengleichungen erfüllt.
Teste dich
Eine Gerade besitzt unendlich viele Parameterdarstellungen. Du darfst jeden Punkt der Geraden als neuen Aufpunkt wählen und den Richtungsvektor mit jeder von null verschiedenen Zahl multiplizieren. Insbesondere beschreibt der Gegenvektor -\vec u dieselbe Gerade, nur die Laufrichtung des Parameters kehrt sich um. Um zwei Darstellungen zu vergleichen, prüfst du zwei Bedingungen: Sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander? Liegt der Aufpunkt der einen Gleichung auf der anderen Geraden? Nur wenn beides zutrifft, ist es dieselbe Gerade.
Beispiel: Drei Gleichungen für dieselbe Gerade g
- 1g:\vec x=\begin{pmatrix}4\\2\\4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}
- 2t=2: \begin{pmatrix}4\\2\\4\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\\8\end{pmatrix}
- 3Neuer Aufpunkt: \vec x=\begin{pmatrix}6\\0\\8\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix} ist dieselbe Gerade.
- 4Gegenvektor: \vec x=\begin{pmatrix}4\\2\\4\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix} ist ebenfalls dieselbe Gerade.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Gerade in Parameterform
Aufbau
Stützvektor \vec p, Richtungsvektor \vec u\ne\vec 0, Parameter s\in\mathbb R
Aus zwei Punkten
Aufpunkt wählen, Differenzvektor \vec q-\vec p bilden, mit beiden Punkten prüfen
Punkte erzeugen
einen Parameterwert einsetzen und jede Koordinate ausrechnen
Punktprobe
alle Koordinatengleichungen brauchen denselben Parameterwert
Gleiche Gerade
Richtungen sind Vielfache und ein Aufpunkt liegt auf der anderen Geraden
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Gerade durch A=(1|0|2) und B=(3|4|-2) aufstellen, dann C=(5|8|-6) prüfen
- 1Richtung \overrightarrow{AB}: 3-1=2, 4-0=4, -2-2=-4
- 2g:\vec x=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\4\\-4\end{pmatrix}
- 3Punktprobe mit C: 5=1+2s, also s=2
- 48=0+4s, also s=2
- 5-6=2-4s, also s=2
- 6Alle drei Gleichungen liefern s=2. Also liegt C auf g.
Fehler finden
Richtungsvektor von A=(2|-3|1) nach B=(5|1|-2) In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3In der y-Komponente wurde das doppelte Minus übersehen: 1-(-3)=1+3=4. Richtig ist \overrightarrow{AB}=(3|4|-3).
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Der führt zu einem festen Punkt der Geraden. Der Richtungsvektor darf nicht der sein. Bei der Punktprobe müssen alle Koordinaten Parameterwert liefern.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback