Mathematik · Klasse 9–10 · aktualisiert
Abstand zweier Punkte berechnen: 2D und 3D
Den Abstand zweier Punkte berechnest du mit dem Satz des Pythagoras. Du lernst die Formel für 2D und 3D und den Umgang mit negativen Koordinaten.
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Kurz gesagt
Den Abstand zweier Punkte P_1(x_1 \mid y_1) und P_2(x_2 \mid y_2) berechnest du mit d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}: Differenzen bilden, quadrieren, addieren, Wurzel ziehen. Im Raum kommt (z_2 - z_1)^2 unter der Wurzel dazu.
Wie weit liegen zwei Orte auf einem Stadtplan mit Koordinatengitter auseinander, wenn du quer, also auf direktem Weg, gehst? Den Abstand zweier Punkte berechnest du, indem du die Unterschiede ihrer Koordinaten quadrierst, addierst und aus der Summe die Wurzel ziehst. Dahinter steckt der Satz des Pythagoras. Hier lernst du die Formel in 2D und 3D und worauf du bei negativen Koordinaten achten musst.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Zeichne die Punkte P_1(x_1 \mid y_1) und P_2(x_2 \mid y_2) in ein Koordinatensystem. Die Differenzen x_2 - x_1 und y_2 - y_1 beschreiben, wie weit du waagerecht und senkrecht gehen musst. Ihre Beträge sind die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, die direkte Verbindung der Punkte ist die Hypotenuse. Nach dem Satz des Pythagoras gilt deshalb d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2. Weil ein Abstand nicht negativ ist, ziehst du am Ende die positive Wurzel.
Definition
Abstand zweier Punkte
Der Abstand d zweier Punkte ist die Länge ihrer direkten Verbindungsstrecke.
Merke: Differenzen bilden, jede Differenz quadrieren, die Quadrate addieren und zuletzt die Wurzel ziehen.
Teste dich
Für P_1(x_1 \mid y_1) und P_2(x_2 \mid y_2) gilt d(P_1,P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. Bei negativen Koordinaten sind Klammern wichtig: Aus 3 - (-2) wird 3 + 2 = 5. Eine negative Differenz ist kein Problem, denn beim Quadrieren wird sie positiv: (-5)^2 = 25. Das passt, denn eine Länge kann nicht negativ sein.
Beispiel: Abstand von P(6 \mid 3) und Q(1 \mid 2)
- 1Differenzen: 1 - 6 = -5 und 2 - 3 = -1
- 2Quadrate: (-5)^2 = 25 und (-1)^2 = 1
- 3d(P,Q) = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \approx 5{,}10 LE
Beispiel: Abstand von A(-2 \mid 4) und B(3 \mid -1)
- 1Differenzen: 3 - (-2) = 5 und (-1) - 4 = -5
- 2d(A,B) = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07 LE
- 3Die Vorzeichen der Differenzen sind verschieden, ihre Quadrate zählen aber beide positiv.
Teste dich
Im Raum kommt die Differenz der z-Koordinaten dazu. Für P_1(x_1 \mid y_1 \mid z_1) und P_2(x_2 \mid y_2 \mid z_2) gilt d(P_1,P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}. Die Rechnung folgt demselben Muster: Differenzen bilden, quadrieren, addieren, Wurzel ziehen. In der Vektorrechnung ist das genau die Länge des Verbindungsvektors \overrightarrow{P_1P_2}.
Beispiel: Abstand von C(-1 \mid 2 \mid 0) und D(3 \mid -1 \mid 4)
- 1Differenzen: 3 - (-1) = 4, (-1) - 2 = -3, 4 - 0 = 4
- 2Quadratsumme: 4^2 + (-3)^2 + 4^2 = 16 + 9 + 16 = 41
- 3d(C,D) = \sqrt{41} \approx 6{,}40 LE
- 4Der Verbindungsvektor \overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix}4\\-3\\4\end{pmatrix} hat genau diese Länge.
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Vertauschst du die Punkte, wechseln alle Differenzen nur ihr Vorzeichen. Weil a^2 = (-a)^2 ist, bleibt der Abstand gleich: d(A,B) = d(B,A). Liegen beide Punkte aufeinander, sind alle Differenzen 0 und damit auch der Abstand.
Beispiel: Gleiche Punkte A(3 \mid 4) und B(3 \mid 4)
- 1d(A,B) = \sqrt{(3 - 3)^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{0} = 0
- 2Abstand 0 heißt: Die beiden Punkte liegen aufeinander.
Merke: Die Reihenfolge der Punkte ändert den Abstand nicht. Identische Punkte haben den Abstand 0, verschiedene Punkte immer einen Abstand größer als 0.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Abstand zweier Punkte
Grundlage
Satz des Pythagoras im Koordinatensystem
Rechnung
Differenzen bilden, quadrieren, addieren, Wurzel ziehen
2D und 3D
zwei oder drei quadrierte Differenzen
Negative Zahlen
beim Einsetzen einklammern
Reihenfolge
ohne Einfluss auf den Abstand
Identische Punkte
Abstand 0
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Abstand von R(-4 \mid -1 \mid 2) und S(2 \mid 1 \mid -1)
- 1Differenzen: 2 - (-4) = 6, 1 - (-1) = 2, -1 - 2 = -3
- 2Quadrate: 6^2 = 36, 2^2 = 4, (-3)^2 = 9
- 3Summe: 36 + 4 + 9 = 49
- 4d(R,S) = \sqrt{49} = 7 LE
Fehler finden
Abstand von A(-2 \mid 1) und B(4 \mid -7) In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Zwei Minuszeichen hintereinander ergeben plus: 4 - (-2) = 4 + 2 = 6. Richtig ist d = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 LE.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Zuerst bildest du die der Koordinaten. Dann du sie und addierst die Ergebnisse. Zum Schluss ziehst du aus der Summe die .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback