Mathematik · Klasse 12 · aktualisiert
Betrag eines Vektors berechnen und anwenden
Der Betrag eines Vektors ist seine Länge. Du lernst, ihn in 2D und 3D zu berechnen, Punktabstände zu bestimmen und Vektoren zu normieren.
0 von 13 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Der Betrag eines Vektors ist seine Länge. Für \vec v = (v_1;v_2;v_3) gilt |\vec v| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}: Komponenten quadrieren, addieren, Wurzel ziehen. In der Ebene fällt v_3 weg, zum Beispiel ist |(8;15)| = \sqrt{64 + 225} = 17.
Ein Vektor sagt dir, in welche Richtung es geht und wie weit. Wie weit genau, verrät sein Betrag: die Länge des Pfeils. Du berechnest ihn mit dem Satz des Pythagoras, egal ob in der Ebene oder im Raum. Damit bestimmst du auch Abstände zwischen Punkten und bringst Vektoren auf die Länge 1.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung mit einer Richtung und einer Länge. Viele gleich lange, parallele und gleich orientierte Pfeile stellen denselben Vektor dar. Die Aussage |\vec v| = 5 bedeutet: Der Vektor ist fünf Längeneinheiten lang. Die Betragsstriche machen aus dem Vektor also eine Zahl, die seine Länge angibt.
Definition
Betrag eines Vektors
Der Betrag |\vec v| ist die Länge eines Vektors, also die Länge jedes Pfeils, der diesen Vektor darstellt. Ein Betrag ist niemals negativ.
Beispiel: Nullvektor und Gegenvektor
- 1Der Nullvektor \vec 0 = (0;0) bewirkt keine Verschiebung: |\vec 0| = 0.
- 2(6;-2) und (-6;2) zeigen in entgegengesetzte Richtungen.
- 3Ihre Länge ist trotzdem gleich, nur die Richtung hat sich geändert.
Teste dich
Für einen Vektor in der Ebene, \vec v = (v_1;v_2), gilt |\vec v| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} Im Raum, bei \vec v = (v_1;v_2;v_3), kommt die dritte Komponente dazu: |\vec v| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} Die Anzahl der Komponenten entscheidet also, welche Formel du nimmst. Beide folgen aus dem Satz des Pythagoras: In der Ebene bilden die Komponenten die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, der Vektorpfeil ist die Hypotenuse. Im Raum wendest du den Satz ein zweites Mal an, mit der dritten Komponente. Negative Komponenten verkürzen den Vektor nicht: Durch das Quadrieren liefern sie positive Beiträge.
Merke: Gehe immer in derselben Reihenfolge vor: quadrieren, addieren, Wurzel ziehen. Setze negative Komponenten beim Quadrieren in Klammern: (-4)^2 = 16.
Beispiel: Betrag von \vec v = (8;15)
- 1Einsetzen: |\vec v| = \sqrt{8^2 + 15^2}
- 2Quadrieren: 8^2 = 64 und 15^2 = 225
- 3Addieren und Wurzel ziehen: \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17
- 4Der Vektor ist 17 Längeneinheiten lang.
Beispiel: Betrag von \vec b = (-3;4;-12)
- 1Einsetzen: |\vec b| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + (-12)^2}
- 2Quadrieren und addieren: 9 + 16 + 144 = 169
- 3Wurzel ziehen: \sqrt{169} = 13, also ist |\vec b| = 13
Teste dich
Der Abstand zweier Punkte ist die Länge ihres Verbindungsvektors. Diesen bildest du mit der Regel Ziel minus Start. Für P_1(x_1 \mid y_1) und P_2(x_2 \mid y_2) gilt \overrightarrow{P_1P_2} = (x_2 - x_1;y_2 - y_1) und damit d(P_1,P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} Im Raum kommt die quadrierte Differenz der dritten Koordinate dazu. Mehr Beispiele in der Ebene und im Raum findest du bei „Abstand zweier Punkte“.
Beispiel: Abstand von P(1 \mid 2) und Q(8 \mid -1)
- 1Verbindungsvektor: \overrightarrow{PQ} = (8 - 1;-1 - 2) = (7;-3)
- 2Betrag: |\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{7^2 + (-3)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}
- 3Der Abstand beträgt \sqrt{58} \approx 7{,}62 Längeneinheiten.
Merke: Beim Verbindungsvektor subtrahierst du alle Koordinaten in derselben Reihenfolge. Vertauschst du Start und Ziel vollständig, ändert sich nur die Richtung des Vektors, der Abstand bleibt gleich.
Teste dich
Für jeden Vektor gilt |\vec v| \geq 0. Den Betrag null hat nur der Nullvektor. Multiplizierst du einen Vektor mit einer Zahl k, gilt |k\vec v| = |k| \cdot |\vec v|. Mit k = 3 wird der Vektor dreimal so lang. Ein negatives k kehrt zusätzlich die Richtung um, für die Länge zählt aber nur |k|. Für zwei Vektoren gilt außerdem die Dreiecksungleichung |\vec a + \vec b| \leq |\vec a| + |\vec b|: Die direkte Gesamtverschiebung ist nie länger als die beiden Einzelstrecken zusammen. Beim Normieren bleibt die Richtung erhalten, nur die Länge wird auf 1 gesetzt. Den Nullvektor kannst du nicht normieren, weil du dafür durch |\vec 0| = 0 teilen müsstest.
Definition
Einheitsvektor
Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit dem Betrag 1. Einen Vektor \vec v \neq \vec 0 normierst du, indem du ihn durch seinen Betrag teilst: \vec e = \frac{\vec v}{|\vec v|}.
Beispiel: \vec v = (-7;24) normieren
- 1Betrag: |\vec v| = \sqrt{(-7)^2 + 24^2} = \sqrt{625} = 25
- 2Normieren: \vec e = \frac{1}{25}(-7;24) = \left(-\frac{7}{25};\frac{24}{25}\right)
- 3Probe: |\vec e| = \sqrt{\frac{49}{625} + \frac{576}{625}} = \sqrt{1} = 1
Teste dich
Alles auf einen Blick
Betrag eines Vektors
Bedeutung
der Betrag ist die Länge eines Vektors
Berechnung
Quadrate der Komponenten addieren und die Wurzel ziehen
Grundlage
der Satz des Pythagoras
Anwendung
der Abstand zweier Punkte ist der Betrag des Verbindungsvektors
Regeln
|\vec v| \geq 0, |k\vec v| = |k| \cdot |\vec v| und die Dreiecksungleichung
Normieren
durch den Betrag teilen, die Länge wird 1
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Den Vektor \vec v = (-4;4;7) normieren
- 1Quadrate: (-4)^2 = 16, 4^2 = 16, 7^2 = 49
- 2Betrag: |\vec v| = \sqrt{16 + 16 + 49} = \sqrt{81} = 9
- 3Normieren: \vec e = \frac{1}{9}(-4;4;7) = \left(-\frac{4}{9};\frac{4}{9};\frac{7}{9}\right)
- 4Probe: |\vec e| = \sqrt{\frac{16}{81} + \frac{16}{81} + \frac{49}{81}} = \sqrt{1} = 1
Fehler finden
Betrag von \vec u = (4;-2;-4) In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3In Zeile 3 wurde die Wurzel aus jedem Summanden einzeln gezogen. Erst addieren, dann die Wurzel ziehen: \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6, also |\vec u| = 6.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Den Betrag eines Vektors berechnest du mit dem Satz des . Negative Komponenten werden zuerst . Ein Einheitsvektor hat immer den Betrag .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback