Vektoren einfach erklärt: Rechnen im Raum

Ein von null verschiedener Vektor enthält Länge, Richtung und Richtungssinn einer Verschiebung. Geometrisch stellst du ihn als Pfeil dar: Der Anfang heißt Fuß, das Ende Pfeilspitze. Der Richtungssinn gibt an, zu welchem Ende der Pfeil zeigt. Wir verwenden ein kartesisches Koordinatensystem: Die drei Achsen stehen senkrecht aufeinander, und auf allen Achsen gilt dieselbe Längeneinheit. Ein Punkt wird durch seine drei Koordinaten beschrieben, zum Beispiel S=(3|6|-3). Die Einträge eines Vektors heißen Komponenten. Im Raum hat ein Vektor drei Komponenten: \vec v=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix} Der Vektor \vec v=\begin{pmatrix}3\\6\\-3\end{pmatrix} bedeutet: 3 Einheiten in positiver x-Richtung, 6 Einheiten in positiver y-Richtung und 3 Einheiten entgegen der positiven z-Richtung. Zum Zeichnen wählst du einen Startpunkt und trägst von dort diese Änderungen parallel zu den Achsen ab. Der Vektorpfeil führt direkt vom Startpunkt zum so gefundenen Endpunkt. Beim Nullvektor \vec 0=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} bleibt der Punkt an seinem Ort. Seine Länge ist 0; er hat keine festgelegte Richtung. Ein Vektor ohne festgelegten Startpunkt ist nicht an einen Ort gebunden. Parallel verschobene Pfeile mit gleicher Länge und gleichem Richtungssinn stellen denselben Vektor dar. Solche Pfeile heißen Repräsentanten des Vektors.

Ein Ortsvektor beginnt im Ursprung O=(0|0|0) und endet an einem Punkt. Seine Komponenten stimmen deshalb mit den Koordinaten des Zielpunkts überein. Ein Verbindungsvektor führt von einem beliebigen Anfangspunkt zu einem Endpunkt. Du berechnest ihn komponentenweise: \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} Du ziehst also den Ortsvektor von A vom Ortsvektor von B ab. Dadurch bleibt genau die Verschiebung von A nach B übrig.

Vektoren derselben Dimension, also mit derselben Anzahl an Komponenten, addierst oder subtrahierst du komponentenweise. Anschaulich bedeutet die Addition: Führe erst die eine, dann die andere Verschiebung aus. Die Summe beschreibt die gesamte Ortsänderung. Multiplizierst du einen Vektor mit einer Zahl, einem Skalar, wird jede Komponente mit dieser Zahl multipliziert: -2\vec a=-2\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-4\\0\end{pmatrix} Die Länge eines Vektors heißt Betrag. Du berechnest sie mit dem Satz des Pythagoras, im Raum zweimal: Die Verschiebung in der xy-Ebene liefert das Längenquadrat a_1^2+a_2^2, die dazu senkrechte z-Komponente ergänzt a_3^2. Deshalb gilt: |\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} Für einen reellen Faktor k gilt |k\vec a|=|k|\cdot|\vec a|. Dabei ist |k| der Betrag der Zahl k, also ihr Abstand von 0 und nie negativ. Die neue Länge ist die alte Länge mal dem Betrag des Faktors. Ein negativer Faktor kehrt bei einem Nichtnullvektor zusätzlich den Richtungssinn um. Der Faktor 0 ergibt immer den Nullvektor. Mehr zur Länge findest du unter „Betrag eines Vektors“.

Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren sind kollinear, wenn einer ein skalares Vielfaches des anderen ist: \vec a=\lambda\vec b Dabei ist \lambda eine reelle Zahl. Für zwei von null verschiedene Vektoren gilt: \lambda>0 bedeutet gleichen, \lambda<0 entgegengesetzten Richtungssinn. Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn einer ein skalares Vielfaches des anderen ist. Das gilt auch, wenn einer der beiden der Nullvektor ist: Er ist das 0-Fache des anderen. Aussagen über gleichen oder entgegengesetzten Richtungssinn gelten dagegen nur für Nichtnullvektoren. Ein passender Faktor für nur eine oder zwei Komponenten genügt nicht. Zum Beispiel sind \begin{pmatrix}2\\4\\3\end{pmatrix} und \begin{pmatrix}4\\8\\5\end{pmatrix} nicht kollinear: Die ersten beiden Komponenten erfordern den Faktor 2, aber 2\cdot3=6 und nicht 5.