Normalenform & Koordinatenform von Ebenen
Mathe - simpleclub
https://www.youtube.com/watch?v=ynpg5S_5-PY

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Was ist eigentlich normal? Sind die hier normal? Oder vielleicht die, die mit sowas rumheizen? Das Schöne ist, in der Mathematik ist mal wieder eindeutig, was
0:08 normal bedeutet. Das blöde ist, hat natürlich mal wieder so gar nichts mit dem zu tun, was wir als normal bezeichnen. Was die normale Form von
0:14 Ebenen ist und noch ein bisschen mehr, das zeigen wir euch heute. [Musik] Klar, in der Mittelstufe habt ihr es bis
0:24 zum Erbrechen durchgebaugt. Tangenten und Normalen. Das grüne ist die Tangente. Senkrecht dazu in rot die normale. Aber damit ihr wisst, warum ihr
0:33 Matte so liebt. Normalen gibt's auch in 3D. Diesmal sind sie auch wieder senkrecht wo drauf, aber nicht auf einer geraden, nein, auf einer Ebene. Bisher
0:41 kennt der Ebenen ja nur auf einer Art, in der Parameterform. Jeder Punkt auf der Ebene kann nämlich mit dem Stützvektor und zwei Richtungsvektoren
0:49 erreicht werden. Die Richtungsvektoren müssen natürlich selber in der Ebene liegen. Sie spannen sozusagen die Ebene auf. Wir haben aber gerade gesagt, das
0:57 geht auch noch mit einem normalen Vektor, der steht senkrecht auf der Ebene. Der Vorteil davon ist, ihr braucht jetzt nur noch einen Vektor und
1:04 die Form lässt sich auch noch super in eine andere Umform, die viel bringt. Aber eins nach dem anderen, immer langsam mit der alte Leute, gehen wir
1:11 mal davon aus, ihr habt eine Ebene in Parameterdarstellung. Zuerst müssen wir mal rauskriegen, was der normalen Vektor überhaupt ist. Den
1:18 haben wir ja noch gar nicht. Wir suchen hier also den orangenen Vektor. Jetzt könnt ihr euch das so vorstellen. Ihr legt zwei Stifte, den roten und den
1:25 gelben auf den Tisch. Das sind die Richtungsvektoren und der Tisch selbst ist die Ebene. Und gesucht ist der grüne Stift. Der steht nämlich senkrecht auf
1:34 dem Tisch und stellt den normalen Vektor da. Und weil er senkrecht auf dem Tisch steht, steht er auch senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren, also senkrecht
1:41 zum roten und zum gelben Stift. Und klingelt da? Wie kriegt man einen Vektor raus, der auf zwei anderen senkrecht sein soll? Klar. Kreuzprodukt oder
1:50 Vektorprodukt, kein Plan, wie ihr dazu sagt. Das hier halt das mit dem X in der Mitte. Wenn wir unseren normalen Vektor mal einfach ändern, kriegen wir den also
1:58 so raus. N ist gleich das Kreuzprodukt aus den Richtungsvektoren U und V. Falls ihr nicht mehr wisst, wie das geht, schaut euch gerade das Video dazu an.
2:06 Einfach auf dem Kanal hier nach Kreuzprodukt suchen. Jetzt überlegt man sich folgendes. Der Punkt X soll mal in der Ebene liegen. Das ist das rote
2:15 Kreuz. Also liegt auch der Vektor vom Stützpunkt P zum Punkt X in der Ebene, also der kleine weiße hier. Und weil der normalen Vektor senkrecht auf allen
2:24 Vektoren in der Ebene ist, ist er also auch senkrecht auf dem Verbindungsvektor. Der weiße Verbindungsvektor ist einfach
2:30 Vektor X - Vektor P. X ist wie gesagt der rote Punkt und P ist der Punkt, wo unser Stützvektor hingeht. Und weil das Skalarprodukt von zwei senkrechten
2:39 Vektoren 0 ist, gilt also n mal der Verbindungsvektor ist 0, wenn x in der Ebene liegt, weil der normalen Vektor n steht ja senkrecht zu allen Vektoren,
2:48 die irgendwie in der Ebene liegen. Diese Form nennt man die normalen Form. Vektor N und Vektor P sind bekannt, X ist irgendein Punkt auf der Ebene. Sieht
2:57 schön leicht aus, ist es aber zum Rechnen nicht so Bombe. Aber kein Stress, man kann es ganz schnell zu was leichtem umformen. Deshalb
3:03 multiplizieren wir mal das Skalarprodukt aus. Jetzt ziehen wir den Teil hinter dem Minus noch auf die andere Seite. Jetzt steht da Vektor n Vektor x =
3:11 Vektor n* Vektor p. Klasse. Was bringt uns es jetzt? Ganz einfach, die Vektoren n und p sind ja bekannt und Vektor X können wir einfach so schreiben als x1,
3:22 X2 und X3, weil Punkt X soll ja ein beliebiger Punkt auf der Ebene sein. Weil es verdammt unübersichtlich aussehen würde, das jetzt allgemein zu
3:30 machen, setzen wir einfach für n und p mal irgendwelche Vektoren ein, z.B. die hier. Wenn man die einsetzt, sieht die
3:37 normalen Form so aus. Also, wir haben die Vektoren oben in die allgemeine Form links eingesetzt. Das multiplizieren wir wieder aus. Und das sind ja ganz normale
3:46 Skalarprodukte. Das könnt ihr zumindest, wenn ihr hellwach nüchtern Topfit und motiviert seid. Na ja, wahrscheinlich nie alles gleichzeitig, aber wir glauben
3:53 an euch. Gibt dann das x1 + 3x2 + 5x3 = 44. Hättet ihr auch hingekriegt, ganz sicher. Die Form mit den x1, 2 und 3 heißt Koordinatenform. Die ist echt
4:06 praktisch. Werdet ihr noch merken. Die Zahlen sind natürlich komplett zufällig. Da kann aller möglicher Rotz vorne dran stehen. Was jetzt aber in der Form ganz
4:15 leicht testen könnt, ob ein Punkt in der Ebene liegt. Dafür setzt ihr für x1, X2 und X3 einfach die Koordinaten des Punktes ein und dann muss 44 rauskommen.
4:25 Wenn nicht, liegt der Punkt nicht in der Ebene. Im Detail machen wir das aber in der Übungsaufgabe morgen. Also, was war wichtig? Erstens, normalen Vektor
4:33 aufstellen mit dem Kreuzprodukt. Zweitens, normalen Form aufstellen. Dazu einfach das Gegebene in die Form rechts einsetzen. Drittens, Koordinatenform
4:43 aufstellen. Die kriegt ihr durchaus multiplizieren der normalen Form. Da kommt man dann sowas in der Art raus. So, für wen das jetzt noch viel zu
4:50 theoretisch war, für den gibt's hier noch eine kleine Aufgabe. Eine Ebene hat die Punkte A321, B7 -23 und C2 -35. Liegt D -271 auch in der Ebene? Die
5:03 Lösung zur Aufgabe gibt's hier rechts im Lösungsvideo. Da wird der Kram hier mal ganz langsam mit richtigen Zahlen durchgerechnet. Als Tipp fürs Lösen
5:10 spult zurück zur Zusammenfassung und versucht euch an diesen Schritten zu orientieren. Schreibt doch mal in die Comments, was für euch das normalste auf
5:16 der Welt ist. Ich bin mir irgendwie ziemlich sicher, dass es nicht die normalen Form ist. Also, wir sehen uns im Lösungsvideo. Bis gleich. Yeah.