Ebene in Koordinatenform aufstellen – mit Normalenvektor
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=mOFogw5ra7A

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo ihr Lieben heute möchte ich euch zeigen wie man eine Ebene in Koordinatenform aufstellen kann stelle eine Gleichung der Ebene in
0:08 Koordinatenform auf die durch den Punkt 205 verläuft und den normalen Vektor 53- 4 hat wir bekommen also zwei Informationen über unsere Ebene einmal
0:21 einen Punkt der in unserer Ebene liegen soll das heißt wenn wir hier mal gerade eine kleine Zeichnung von unserer Ebene machen dann liegt dieser Punkt den nenne
0:31 ich einfach mal P liegt der eben in unserer Ebene und wir bekommen den normalen Vektor von unserer Ebene gegeben das ist ja ein spezieller Vektor
0:41 von dem weiß man immer dass der senkrecht auf unserer Ebene steht das ist der normalen Vektor n sehr wichtiger Vektor sehr gut dass er gegeben ist und
0:51 mit diesen beiden Informationen die sind jetzt ausreichend um unsere Ebene aufzustellen lass uns das mal gerade noch mal sammeln also den Vektor den
1:00 nennen wir n ab sofort der hat die Koordinaten 5 3 und -4 und unser Punkt P den wir P genannt haben der hat die Koordinaten
1:12 205 okay wir sollen unsere Ebene in Koordinatenform aufstellen wie sieht die aus die sieht grundsätzlich immer so aus dass sie wir a mal X + B y + C* Z = D
1:28 haben die kann bei euch ein bisschen anders aussehen manche nutzen statt X Y und Z eben x1 x2 und X3 das ist eine Möglichkeit dass es anders aussieht hat
1:41 aber natürlich dieselbe Struktur und andere Leute haben das den nicht auf der rechten Seite stehen sondern auf der linken Seite also wenn ihr das jetzt
1:49 nach links bringen würdet würdet ihr - D rechnen die haben dann hier -d und auf der anderen Seite steht dann aber gleich 0 letztendlich wie sagt das hat dieselbe
2:00 Struktur schnappt euch eure Form wie die bei euch aussieht und macht dann alle Schritte dementsprechend okay unsere Aufgabe ist
2:09 es jetzt die Zahlen für a herauszufinden für B für C und für D das X Y und Z das bleibt bis zum Schluss hier in dieser Gleichung drin also unsere Aufgabe ist
2:22 nur A B C und D zu finden das Gute ist dass A B und C super schnell zu finden sind wenn der normalen or gegeben ist denn das sind exakt die Koordinaten von
2:34 dem normalen Vektor super praktisch also für a setzen wir die erste Koordinate von unserem Normalenvektor ein das ist die 5 das X bleibt stehen dann für B
2:45 setzen wir die zweite Koordinate vom normalenveektor an das ist die 3 also haben wir hier + 3 und das Y bleibt stehen und für das C ihr ahnt es schon
2:53 die dritte Koordinate von unserem Normalenvektor aufpassen dass hier jetzt -4 steht also muss dann auch hier - 4 für das C rein und dann das Z hinten
3:05 dran das D hat mit dem normalen Vektor nichts zu tun das bleibt erstmal so stehen das müssen wir gleich anders herausfinden aber damit haben wir schon
3:13 mal was herausgefunden das habe ich jetzt noch mal auf die nächste Seite geschrieben und für euch ganz wichtig dieser Zusammenhang immer zwischen der
3:20 Koordinatenform und dem normalen Vektor die Zahlen die hier vorne dran stehen das ist kein Zufall das sind immer die Koordinaten von dem normalen Vektor also
3:30 falls ihr den man nicht haben solltet aber ihr habt die Gleichung schon dann wisst ihr sofort wie der Normalenvektor aussieht okay dann gehen wir auf die
3:39 Suche nach unserem D wir haben den Punkt ja noch nicht benutzt ne den Normalvektor haben wir schon benutzt das heißt den können wir jetzt ignorieren
3:48 aber den Punkt der in unserer Ebene liegt den können wir noch verwenden um d herauszufinden und zwar müssen wir den Punkt dafür einfach nur in die Gleichung
3:57 einsetzen dieser Punkt hat ja eine x Koordinate eine ykoordinate und eine Z Koordinate und hier stehen noch ein paar X Y und Z jetzt können wir da einsetzen
4:08 und unser D berechnen also die 2 für das X rein dann haben wir hier 5* 2 + 3 x und die ykoordinate von unserem Punkt rein 0 sehr gut - 4 x die z-Koordinate
4:23 von unserem Punkt ist die 5 und das muss dann unser D ergeben weil dieser Punkt muss soll ja in der Ebene liegen das heißt diese Gleichung muss dann erfüllt
4:34 sein und wir können unser D berechnen wir haben 5 x 2 das sind 10 + 3 x 0 sind 0 - 4 x 5 sind 20 also haben wir hier 10- 200 das sind
4:47 -10 insgesamt und das ist unser D damit haben wir d gefunden können das dann hier schön einsetzen die -10 hier rein und das ist unsere gesuchte
5:01 Ebenengleichung in Koordinatenform mehr ist es nicht ich hoffe es ist klar geworden wie man vorgehen kann falls ihr Fragen habt schreibt sie gerne in die
5:08 Kommentare ansonsten habt noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video macht's gut