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Was ist der Betrag eines Vektors?

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Transkriptautomatisch erstellt · 32 Zeilen
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  1. In diesem Video erklären wir dir, was der Betrag eines Vektors ist und wie man ihn berechnen kann. Der Betrag des Vektors kann als die Länge eines Pfeils interpretiert werden,
  2. der den Vektor darstellt. Diese Größe wirst du in verschiedenen Anwendun- gen der Vektorrechnung immer wieder brauchen,
  3. zum Beispiel wenn durch Vektoren geometrische Figuren entstehen und du Seitenlängen oder Winkelgrößen berechnen sollst.
  4. Schauen wir uns mal diesen Vektor an. Wie können wir die Länge eines zugehörigen Pfeils berechnen? Dazu zeichnen wir erst einen passenden Pfeil und dann dazu ein Dreieck,
  5. das die beiden Komponenten des Vektors, also hier die 3 und die 4, verdeutlicht. Wenn wir 3 Schritte entlang dieser Seite gehen und 4 Schritte entlang dieser Seite,
  6. kommen wir an der Spitze des Pfeils raus. Die eine Seite verläuft parallel zur x-Achse und die andere verläuft parallel zur y-Achse.
  7. Damit sind die Seiten senkrecht zueinander, das heißt, wir haben hier einen rechten Winkel. In einem rechtwinkligen Dreieck können wir den Satz des Pythagoras anwenden,
  8. um die Länge der Hypotenuse zu bestimmen, und das ist ja genau unser Pfeil. Falls du dich nicht mehr an den Satz des Pythagoras erinnern kannst,
  9. dann schau in der Lerneinheit 6 „Elementare Geometrie“ nach. Das Quadrat der Hypotenusenlänge ist nämlich gleich der Summe
  10. über die Quadrate der beiden Kathetenlängen. Wenn wir die Hypotenuse mit h bezeichnen, erhalten wir h-Quadrat gleich 3-Quadrat plus 4-Quadrat.
  11. Um wirklich h zu erhalten, müssen wir noch auf beiden Seiten die Wurzel ziehen. Dann haben wir h gleich Wurzel aus 3-Quadrat plus 4-Quadrat.
  12. Ausgerechnet ergibt das h gleich Wurzel aus 9 plus 16. Das ist die Wurzel aus 25, also gleich 5.
  13. Und genau so können wir die Länge jedes Vektors berechnen. Wenn wir die erste Komponente mit a1 bezeichnen und die zweite mit a2,
  14. dann können wir h Quadrat berechnen durch a1 Quadrat plus a2 Quadrat. Ziehen wir davon die Wurzel, erhalten wir die Länge des Vektors h.
  15. Wir bezeichnen die Länge eines Vektors auch als Betrag. Damit wir wissen, dass wir den Betrag meinen,
  16. setzen wir Betragsstriche um die Bezeichnung des Vektors. Für einen Vektor a in R2 gilt dann Betrag von a ist gleich Wurzel aus a1 Quadrat plus a2 Quadrat.
  17. Genauso geht das für Vektoren im Dreidimensionalen. Auch hier quadrieren wir die jeweiligen Komponenten,
  18. addieren sie dann und ziehen davon anschließend die Wurzel. Die Formel sieht ähnlich aus wie im zweidimensionalen Fall
  19. und sie lässt sich auch ähnlich begründen. Dabei muss man im dreidimensionalen Raum den Satz des Pythagoras doppelt anwenden,
  20. was etwas aufwendiger ist. Deswegen überspringen wir den Beweis in diesem Video.
  21. Der Betrag eines Vektors ist in Anwendungen wichtig. Er liefert nicht nur die Länge von Pfeilen, sondern gibt zum Beispiel in der Physik an,
  22. wie stark eine Kraft, Beschleunigung oder ein magnetisches Feld ist. Er lässt sich immer mit dieser Formel ausrechnen.
  23. Die Wurzel dürfen wir hier übrigens immer ziehen, weil hier nur positive Zahlen oder 0 stehen können.
  24. Wenn wir nämlich die einzelnen Komponenten quadrieren, sind sie entweder positiv oder 0. Die Summe davon ist dann auch positiv oder 0.
  25. Schauen wir uns nochmal ein Beispiel an und berechnen den Betrag dieses Vektors. Dazu müssen wir erstmal jede einzelne Komponente quadrieren,
  26. die Ergebnisse addieren und anschließend die Wurzel von dem Ganzen ziehen. Dann steht hier unter der Wurzel 1 plus 49 plus 4 Neuntel und das ergibt addiert 454 Neuntel.
  27. Das können wir vereinfachen, indem wir vom Zähler und vom Nenner getrennt die Wurzel ziehen. Denn Wurzel aus 9 ist 3.
  28. Wenn wir das jetzt in den Taschenrechner eingeben, erhalten wir ungefähr 7,1. In diesem Video hast du gelernt, was der Betrag eines Vektors ist und wie man ihn berechnen kann.
  29. Dazu musst du jede einzelne Komponente des Vektors quadrieren, die Ergebnisse addieren und dann die Wurzel davon ziehen.
  30. Anschaulich kann der Betrag des Vektors als Länge des ihn repräsentierenden Pfeils gedeutet werden.
  31. Wenn du üben willst, den Betrag von Vektoren zu bestimmen, dann schau dir die Aufgaben im studiVEMINT-Kurs an.
  32. Dort lernst du auch weitere Rechenregeln für Vektoren kennen.

Zum Nachlesen

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