Was ist der Betrag eines Vektors?
studiVEMINT
https://www.youtube.com/watch?v=gUTz0io7PTw

Transkript (automatisch erstellt)

0:04 In diesem Video erklären wir dir, was der Betrag eines Vektors ist und wie man ihn berechnen kann. Der Betrag des Vektors kann als die Länge eines Pfeils interpretiert werden,
0:13 der den Vektor darstellt. Diese Größe wirst du in verschiedenen Anwendun- gen der Vektorrechnung immer wieder brauchen,
0:19 zum Beispiel wenn durch Vektoren geometrische Figuren entstehen und du Seitenlängen oder Winkelgrößen berechnen sollst.
0:26 Schauen wir uns mal diesen Vektor an. Wie können wir die Länge eines zugehörigen Pfeils berechnen? Dazu zeichnen wir erst einen passenden Pfeil und dann dazu ein Dreieck,
0:36 das die beiden Komponenten des Vektors, also hier die 3 und die 4, verdeutlicht. Wenn wir 3 Schritte entlang dieser Seite gehen und 4 Schritte entlang dieser Seite,
0:45 kommen wir an der Spitze des Pfeils raus. Die eine Seite verläuft parallel zur x-Achse und die andere verläuft parallel zur y-Achse.
0:53 Damit sind die Seiten senkrecht zueinander, das heißt, wir haben hier einen rechten Winkel. In einem rechtwinkligen Dreieck können wir den Satz des Pythagoras anwenden,
1:02 um die Länge der Hypotenuse zu bestimmen, und das ist ja genau unser Pfeil. Falls du dich nicht mehr an den Satz des Pythagoras erinnern kannst,
1:10 dann schau in der Lerneinheit 6 „Elementare Geometrie“ nach. Das Quadrat der Hypotenusenlänge ist nämlich gleich der Summe
1:17 über die Quadrate der beiden Kathetenlängen. Wenn wir die Hypotenuse mit h bezeichnen, erhalten wir h-Quadrat gleich 3-Quadrat plus 4-Quadrat.
1:26 Um wirklich h zu erhalten, müssen wir noch auf beiden Seiten die Wurzel ziehen. Dann haben wir h gleich Wurzel aus 3-Quadrat plus 4-Quadrat.
1:35 Ausgerechnet ergibt das h gleich Wurzel aus 9 plus 16. Das ist die Wurzel aus 25, also gleich 5.
1:42 Und genau so können wir die Länge jedes Vektors berechnen. Wenn wir die erste Komponente mit a1 bezeichnen und die zweite mit a2,
1:50 dann können wir h Quadrat berechnen durch a1 Quadrat plus a2 Quadrat. Ziehen wir davon die Wurzel, erhalten wir die Länge des Vektors h.
2:00 Wir bezeichnen die Länge eines Vektors auch als Betrag. Damit wir wissen, dass wir den Betrag meinen,
2:06 setzen wir Betragsstriche um die Bezeichnung des Vektors. Für einen Vektor a in R2 gilt dann Betrag von a ist gleich Wurzel aus a1 Quadrat plus a2 Quadrat.
2:16 Genauso geht das für Vektoren im Dreidimensionalen. Auch hier quadrieren wir die jeweiligen Komponenten,
2:21 addieren sie dann und ziehen davon anschließend die Wurzel. Die Formel sieht ähnlich aus wie im zweidimensionalen Fall
2:28 und sie lässt sich auch ähnlich begründen. Dabei muss man im dreidimensionalen Raum den Satz des Pythagoras doppelt anwenden,
2:34 was etwas aufwendiger ist. Deswegen überspringen wir den Beweis in diesem Video.
2:39 Der Betrag eines Vektors ist in Anwendungen wichtig. Er liefert nicht nur die Länge von Pfeilen, sondern gibt zum Beispiel in der Physik an,
2:46 wie stark eine Kraft, Beschleunigung oder ein magnetisches Feld ist. Er lässt sich immer mit dieser Formel ausrechnen.
2:53 Die Wurzel dürfen wir hier übrigens immer ziehen, weil hier nur positive Zahlen oder 0 stehen können.
2:58 Wenn wir nämlich die einzelnen Komponenten quadrieren, sind sie entweder positiv oder 0. Die Summe davon ist dann auch positiv oder 0.
3:06 Schauen wir uns nochmal ein Beispiel an und berechnen den Betrag dieses Vektors. Dazu müssen wir erstmal jede einzelne Komponente quadrieren,
3:13 die Ergebnisse addieren und anschließend die Wurzel von dem Ganzen ziehen. Dann steht hier unter der Wurzel 1 plus 49 plus 4 Neuntel und das ergibt addiert 454 Neuntel.
3:25 Das können wir vereinfachen, indem wir vom Zähler und vom Nenner getrennt die Wurzel ziehen. Denn Wurzel aus 9 ist 3.
3:31 Wenn wir das jetzt in den Taschenrechner eingeben, erhalten wir ungefähr 7,1. In diesem Video hast du gelernt, was der Betrag eines Vektors ist und wie man ihn berechnen kann.
3:41 Dazu musst du jede einzelne Komponente des Vektors quadrieren, die Ergebnisse addieren und dann die Wurzel davon ziehen.
3:49 Anschaulich kann der Betrag des Vektors als Länge des ihn repräsentierenden Pfeils gedeutet werden.
3:55 Wenn du üben willst, den Betrag von Vektoren zu bestimmen, dann schau dir die Aufgaben im studiVEMINT-Kurs an.
4:00 Dort lernst du auch weitere Rechenregeln für Vektoren kennen.