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Grundlagen VEKTOREN – Einstieg Vektorgeometrie einfach erklärt
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 111 Zeilen
- hallo ihr lieben in diesem video geht es um die grundlagen der vector rechnung und am besten starten immer ganz vorne mit der frage was einen vektor überhaupt
- ist habt ihr vielleicht schon mal gehört ein vector ist im grunde ein pfeil sowie hier gezeichnet so blöd es irgendwie klingt aber das ist so der in eine
- bestimmte richtung zeigt und eine gewisse länge hat es gibt vektoren die zeigen in eine andere richtung zum beispiel so dann ist
- das nicht mein weg tor sondern dann ist das zum beispiel mein vector ist definitiv ein anderer weg tor weil er in eine andere richtung zeigt genauso muss
- mein vector nicht so lange sein es kann auch sein dass ich zwar in dieselbe richtung zeige aber bisschen kürzer bin oder in dieselbe richtung zeige aber
- länger bin das ist dann auch ein anderer weg tor und das kann man eben einfach so untersuchen also mein weg tor aber wenn ich den mal notieren möchte dann
- schreibe ich den buchstaben hin so ein kleinen pfeil oben drüber der mir sagt das ist jetzt ein sektor- und die werden dann in so großen klammern notiert und
- da kommen jetzt koordinaten rein wie viele koordinaten haben wir jetzt hier in dem beispiel x1 achse x2 axel also wir haben jetzt zwei koordinaten weil
- sich so gut zeichnen lässt wir schauen uns das ganze gleich nach dem dreidimensionalen an da sie zeichnen halt nicht mehr so angenehm deswegen für
- den einstieg erst mal nur zwei koordinaten und die x1 koordinate schreibe ich ja als erstes rein und da unten drunter kommt an die x2 konan
- hatte meine vector kann ich jetzt so ablaufen dass ich am anfang des pfeils starte und gucke um jetzt zur spitze zu kommen wie
- lang muss sich in x1 richtung rennen wie viele schritte muss ich in x2 richtung rhein gucken wir mal 123 61 richtung und 12 34 in x2 richtung und
- dann komme ich eine spitze an deswegen ist mein weg der hier jetzt 34 er besteht aus den koordinaten drei und vier
- und ich haben versprochen dass wir die länge eines rektors mal berechnen wollen das kann man auch machen nämlich von unserem die länger dann macht man so
- betrags strecke da hin weil man die länge eines sektors auch als betrag eines rektors bezeichnet und da gibt es eine formel die freunde sagt man kann
- die länge eines rektors ausrechnen in dem eine wurzel nimmt uns jetzt die koordinaten sich schnappt also die drei und quartiert und dann kommt immer im
- plus und dann kommt die nächste koordinate die vier und quartiert wenn ihr mehrere koordinaten noch habt geht so weiter immer die nächste koordinate
- einmal dazu quartieren dann rechnen wir das mal aus 13 vertrat werden neun +16 werden 25 also wurzel aus 25 das wären 5 unser
- lektor ist 55 cm meter muss man gucken was man halt eben hat das hier kommt euch vielleicht bekannt vor ist tatsächlich vom satz des
- pythagoras abgeleitet hier weil hier im zweidimensionalen wo wir gerade sind haben wir natürlich unser rechtwinklige dreieck mit der seitenlänge drei der
- seitenlänge 4 und dann kann man diese seite eben ausrechnen also so kann man sich die frommen halt eben auch ganz gut merken im dreidimensionalen funktioniert
- das natürlich genauso habe ich euch ja schon gesagt aber da seht ihr schon die zeichnung ist halt nicht mehr ganz so geil wir haben eine x1 akzeptiert aus
- dem bildschirm raus zeigt sozusagen also müsst euch vorstellen dass euch dass der pfeil im grunde fast erstickt und nach rechts läuft x2 aktuell nach oben
- extrakte wir haben also drei koordinaten sieht man hier auch wir haben hier einen neuen weg tor sektor b der aus den koordinaten 2 - 2 und 1 besteht laufen
- wir den mal ab um das nachvollziehen zu können wir laufen am ende los und am anfang los und wollen zur spitze also wir gehen zwei in x1 richtung 12 hierhin
- dann - 2x2 richtung also hier ins negative 12 das ist natürlich alles verzerrt deswegen ist es schon schwierig sich das vorzustellen wir müssen hier so
- richtig 12 shrek shrek rein und dann noch eins hoch also auf der extra achse 1 hoch und dann kommen wir da raus also von der perspektive
- schlecht sich das so ordentlich zu zeichnen deswegen mache ich jetzt gleich alles andere im zweidimensionalen einfach nur man kann das auch
- dreidimensionale ganz einfach übertragen aber die zeichnungen sind halt nicht mehr ganz so angenehm aber wie eben auch erzählt den betrag eines
- sektors also seine länge kann man wie eben auch mit dieser formel berechnet indem man die wurzeln im tauss und die einzelnen koordinaten einfach quartiert
- also zwei zum quadrat plus nächste koordinate die -2 zum quadrat plus die nächste koordinate die 12 grad dann wird nur noch ausgerechnet zwei zum quadrat
- sind vier dass da sind auch vier hinten kommen noch eins dazu also wurzel von 9 insgesamt und das wäre 3 mein weg durch hier hat die länge 3 gut so viel zur
- länge eines sektors dann gibt es noch den gegen vector hier ist unser ganz normaler vector b der hier auch steht und sieht der gegen victor zeigt jetzt
- einfach in genau die andere richtung also wenn viktor b hierhin zeigt zeigt man gegen victor bin ich jetzt einfach mal als zäh bezeichnet
- in genau die andere richtung müsst euch jetzt hier sind auch ein bisschen schräg wird aus versucht euch vorzustellen das liegt die
- beiden liegen dann im grunde auf einer geraden auf so einem stift und und diesen gegen weg dort ist superwichtig den kann man berechnen ganz
- easy auch berechnen weil er zeigt er genau in die andere richtung das ist einfach - der andere vector also man macht man dreht im grunde jedes
- vorzeichen einmal rum von unserem ursprungs vector aus zwei wird - zwei aus minus 2 bis plus 2 aus 11 und schon haben wir unseren gegen die vector
- gefunden der wirklich entgegengesetzt zu unserem vector zeigt er hat immer noch dieselbe länge daran ändert sich nix also das ist die länge 3
- die wir eben ausgerechnet haben genauso lang ist auch der blaue vector hier aber er zeigt eben in eine andere richtung ok dann kann man vektoren natürlich auch
- agieren und gottseidank funktioniert es so wie man sich das vorstellt wenn ich jetzt den vektor zu dem sektor b dazurechnen möchte also hier unser weg
- tor 12 zu dem vector 4 1 dazurechnen will geht es so wie man sich das wünscht man rechnet einfach die koordinaten zusammen 1 plus 4 sind fünf und zwei
- plus eins sind drei das ganze kann man aber auch veranschaulichen und das muss man am anfang auch häufiger tun deswegen machen wir das jetzt mal wir zeichnen
- den weg tor 12 die koordinate also wir starten immer im nullpunkt und dann 1x1 richtung und 2x2
- richtung da es unsere spitze also vom nullpunkt hier zudem stelle die wir uns markiert haben das wäre unser rektor und zu diesem sektor wollen wir jetzt
- den vektor b dazu rechnen und dann hängt man die pfeile einfach hintereinander also 41 will ich jetzt an die spitze hier kann zeichnen das heißt ich geh 4x
- einrichtung von hier los laufend 1234 und dann noch eins nach oben also ich hierhin und das wäre mein weg.de den habe ich jetzt eben an den weg tor
- angehängt und das was jetzt entstanden ist vorm anfang bis zur spitze also bis zum ende das ist
- die summe aus a und b also wenn man vektoren addiert hängt man sie einfach hintereinander und wir haben ja gerade eben
- rausgefunden dass + b haben wir eben schon ausgerechnet dass das 5 und 3 ist prüfen will das jetzt mit unserer zeichnen auch sehr gut
- gearbeitet haben wir starten hier und wollen zur spitze also 12345 in x1 richtung so gut und 123 nach oben in x2 richtung und das ist
- tatsächlich genau dieser weg den wir schon ausgerechnet haben also so kann man das überprüfen vektoren werden aneinander gehängt wenn man sie addiert
- dann kann man sich natürlich nicht nur addieren sondern auch voneinander subtrahieren geht aber gottseidank genauso wenn wir jetzt - b rechnen
- wollen dann kann man die rektoren einfach hin schreiben und koordinaten weise von immer mehr abziehen 1 - 4 sind - drei und zwei - 111 das ist unser
- ergebnis wenn wir vektoren von einer abziehen auch das kann man dann anschaulich machen zeichnen wir unseren weg tor das wäre 12
- also von null aus los laufend 1x1 richtung und 2x2 richtung also das wäre unser rektor und ich jetzt noch mal kurz überlegen
- jetzt wollen wir nicht rechnen sondern a minus b - b kann man aber auch ein bisschen anders schreiben an minister ist nämlich
- das selbe wie arglos - b das wisst ihr ja bestimmt also aus plus und minus bitten - also können wir das so auseinander ziehen bisschen auch
- als - b war das hatten wir ihm das war dagegen vector also wir wollen zuerst einfach den gegen vector von b addieren also den gegen erweckt hier dranhängen
- liegt hat man den gegen victor von b noch mal gefunden da musste man doch einfach die vorzeichen abändern also mit 4 und 1 sondern minus 4 und minus 1 und
- den hängen wir jetzt an also - vier von unserer spitze den wohnwert dranhängen gehen wir - 4x einrichtung also 13 4 und
- minus 162 richtung also hier eins runter und landen dann hier das hier ist der vector - b weil wollen wir aneinander hängen wir wollen hier von eins zu drei
- jahren und das was da entstanden ist vom ursprung zum ende also zur spitze ist eben - b gewesen und auch das können wir jetzt noch einmal kontrollieren wir
- hatten gesagt - b war - 31 und schauen ob das stimmt von müll aus los laufend 1 2 - 3 und 1 nach oben das ist genau die koordinaten die wir
- schon berechnet hatten als auch da kann man sich an der spitze dann gut herr leiden oder kontrollieren da gibt es noch einen verbindungsweg von der ist
- super wichtig also wer kommt bei allem heran man will im grunde also man hat hier den weg da und hier den vektor b und man will jetzt von diesem punkt
- direkt zu dieser spitze als man will von a zur spitze von diesen verbindungsweg tor möchte man haben das hat man sehr häufig dass man einen punkt p bekommt
- und einen punkt co und man will diese richtung haben das ist der verbindungsweg tor von thq und den schreibt man folgendermaßen also a b und
- dann pfeil oben drüber also dass man die beiden jetzt sozusagen verbindet und den berechnet man folgendermaßen indem man nämlich den hinteren also b -
- rechnet das muss man sich merken kann man sich auch herleiten könnte gleich nochmal gucken gleich mal dass man eben wenn man verbindungsweg tor machen
- möchte zieht man einfach aus nimmt man den hinteren und zieht den vorderen ab das wäre bei uns jetzt was war 41 und von dem sollen wir 12 abziehen was kommt
- raus 4 1 und 3 und 12 sind - das wäre der verbindungs rektor oder richtungswechsel können auch von a nach b und lasst uns das jetzt mal gerade
- grafisch anschauen wie eben auch wir zeichnen das ist eins nach rechts zwei nach oben das ist mein weg tor wie die ganze zeit
- auch schon zeichnen mit dem vector b4 nach rechts eins nach oben das ist mein viktor b und jetzt habe ich euch ja eben schon gesagt ich will
- von der spitze von arzt zur spitze von b das ist mein verbindungsweg tor von a nach b und jetzt müssen wir einfach mal gucken welchen weg wird da laufen müssen
- also von hier nach da kann ich ja auch hier über den weg gehen also hier startet dann laufe ich entgegengesetzt zu a was war nochmal
- entgegengesetzt zu aber das ist der gegen victor also - a in die richtung - und wenn ich hier unten bin laufe ich einfach nur noch in richtung von b also
- kommt dazu und seht ihr das wenn ihr das herum dreht steht dabei - und das war genau das wenn man kurz nochmal zurückgehen was ich euch hier gezeigt
- hatte wie man diesen verbindungs vector berechnen kann indem man den hinteren - den vorderen rechnet gute verbindung sektor super richtig dann es gibt
- wirklich viele grundlagen ich wusste nicht wo ich aufhören sollte aber ich finde die alle wichtig also von daher kommt jetzt alles in das video rein das
- vielfache eines sektors kann man nämlich auch berechnen man kann nämlich zum beispiel sagen ich habe vector ich nehme jetzt einfach das doppelte von diesem
- sektor a wie rechne ich das na ja da wird dieser weg tor einfach mit der zwei multipliziert und so wie man sich das wünscht wird 2 x 2 also koordinaten
- weise multipliziert 2 x 2 4 und 2 x 1 und 2 ich habe diesen sektor im grunde jetzt verdoppelt lass uns das mal anschauen was das bedeutet das war mein
- ursprünglicher vector 21 also zwei nach rechts eins nach oben das war wenn man es besser zeichnen kommt man da auch gut raus das war und wir haben
- jetzt zweimal gemacht also wir sind jetzt bei 42 rausgekommen schon mal wurde es ist von null ausgehend fiel nach rechts zwei
- nach oben da kommen wir daraus wenn man jetzt besser gezeichnet hätte die liegen auf einer linie und zwar haben wir jetzt das doppelte
- von diesem weg tor gemacht wir haben die länge verdoppelt derzeit immer noch in dieselbe richtung aber er ist jetzt doppelt so lang also dass da ist 2
- und genauso könnte man 3a machen also man hängt einmal den vektor zweimal den vektor und nochmal den vektor hintereinander das wäre dann drei also
- wenn ihr dreimal berechnet wäre dass er dreimal der da also dreimal ausweisen 63 x 13 dann müssen wir bei 63 rauskommen guck mal
- 63 hoch perfekt das ist der blaue vector und den kann man nicht nur verlängern so wie hier sondern auch verkürzen wenn wir nämlich zum beispiel hier nun die hälfte
- davon haben wollen von dem ursprünglichen roten fleck den man hier unten drunter noch ein bisschen sieht dann könnte man eben 05 mal rechnen dann
- hat man den vektor halt verkürzt also mit so einem faktor von einem vector zieht man den vektor in die länge also hängt man den im grunde mehrfach
- hintereinander also schaut dass es vielfache von diesen ursprünglichen vector wird und damit hängt auch die lineare
- abhängigkeit zusammen und das ist jetzt das letzte thema was ich hier noch anreisen möchte die lineare abhängigkeit das was wir eben gesehen haben dass ein
- vector oder zwei vektoren in dieselbe richtung zeigen das würde bedeuten dass sie linear abhängig sind wie eben schon gesehen gibt es auch vektoren die nicht
- in dieselbe richtung zeigen das wären linear unabhängige die sind unabhängig voneinander die haben nichts miteinander zu tun die laufenden unterschiedliche
- richtung hier das sind partner die sind abhängig voneinander im guten sinne die laufen in dieselbe richtung und diese lineare abhängigkeit kann man prüfen wir
- haben hier zwei vektoren und sollen gucken zeigen die selbe richtung oder zeigen sie in unterschiedliche richtungen und
- das kann man eben machen mit dem was ich euch eben gezeigt habe man schaut ob diese beiden sektoren vielfache voneinander sind also kann ich diesen
- einen vektor a kann ich den als vielfaches also eher was wir gleich herausfinden müssen kann ich den als vielfaches von dem anderen vector
- schreiben das ist der ansatz wenn ihr auf lineare abhängigkeit untersuchen sollte und der weg da war er das 214
- der effekt also er bleibt das wollen wir herausfinden ob es so eine zahl gibt und der vector bis 125 und es ist jetzt so ein kleines
- gleichung system in der ersten zeile steht zwei gleich er mal eins also zeitgleich er in der zweiten zeile steht vier gleich er
- mal 2 oder 2 r und in der letzten zeile stets 10 gleich einmal fünf also fünf er ja noch da unten himmel quetscht anpasst kann hoffentlich noch lieber weg jetzt
- hat man ein gleichung system das man jetzt nach er auf löst also in der ersten zeile steht ja schon ja gleich zwei da müssen wir nichts mehr machen in
- der zweiten zeile wenn wir da noch durch zwei teilen steht es er auch alleine vier durch zwei sind zwei und in der letzten zeile auch da wollen wir nach er
- auflösen müssen wir noch durch fünf teilen 10 durch fünf sind zwei guck mal da kam überall das selbe raus für er das bedeutet fürs er dürfte man hier im
- grunde zwei einsätzen und damit hat man diese lineare abhängigkeit gefunden also der eine ist ein vielfaches von dem anderen
- und damit zeigen die hier tatsächlich in dieselbe richtung wenn hier zum beispiel vier rausgekommen wäre und an den anderen was anderes dann
- werden sie den ja unabhängig voneinander dann haben sie nichts miteinander zu tun so viel zu den grundlagen der weg der rechnung dann hoffe ich dass es euch
- geholfen hat uns wir uns wenn im nächsten video sehen macht's gut
Zum Nachlesen
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