Spatprodukt Herleitung. Formel zur Volumenberechnung eines Spats
Mathehoch13
https://www.youtube.com/watch?v=IrUdBzGsBvU

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 in einer früheren videos mir gelernt wie man mit hilfe des vector produkt den flächen inhalt eines aus zwei vektoren aufgespannten parallelogramm vermitteln
0:08 kann in diesem video lernen wir jetzt eine weitere coole anwendung kennen in der sowohl das wetter produkt als auch das
0:15 scala produkt vorkommen in dieser kombination spricht man vom sogenannten spaltprodukt weil man damit das volumen eines aus drei vektoren aufgespannten
0:24 spaß berechnen kann dabei erspart produktformen herleiten und uns dann ein anwendungsbeispiel anschauen
0:31 okay das ist jetzt erspart ein sport ist sein körper der durch drei vektoren aufgespannt wird du solltest schon wissen dass ein
0:40 parallelogramm durch zwei vektoren aufgespannt wird und wenn jetzt noch ein dritter faktor hinzu kommen der nicht nur gleichen
0:47 ebene liegt kann man ein so genanntes spart aufspannen das so wie es jetzt hier aus sieht sogar ein schräger quader sein kann
0:58 für die volumen- berechnung von körpern bei der die grundfläche identisch ist mit der dachfläche so wie es hier der fall ist und wo die grundfläche und die
1:09 decke fläche parallel zueinander liegen so wie das hier ebenfalls der fall ist für solche körper gilt allgemein die volumen formel bei der man rechnet v das
1:19 volumen ist gleich grundfläche mal höher eine grundfläche kinder ja schon es ist ja das parallelogramm das durch zwei vektoren aufgespannt wird
1:36 und wie wir ihn im vorigen video schon gesehen haben können wir den flächen halt dieses parallelogramm es über den betrag des vector produkte auf
1:46 spannenden vektoren kreuz bestimmen ok die grundfläche kennt jetzt aber wie kommen wir jetzt an die höhe des sports die höhere spaß entspricht ja die
2:00 senkrecht gefällt die strecke von der decke fläche auf die grundfläche und von diesem punkt ausgehend können wir das ja hier nach unten zeichnen
2:11 so die hülle verläuft ja senkrecht zudem parallelogramm überweg er noch eine weitere richtung die senkrecht zum parallelogramm steht und das ist der
2:23 vector der durch das kreuz produkt von a kreuz berechnet wird denn das ist ja sozusagen einen normalen vector der gleichzeitig senkrecht auf a-
2:34 und b- und damit zum parallelogramm steht und jetzt ist er eben halt auch parallel zu unserer höhe hahn wenn wir uns jetzt diese region hier näher
2:44 anschauen dann sehen wir natürlich zum einen das haar und der vector paarkreuz b parallel zueinander verlaufen aber wir sehen auch dass hier ein rechtwinklige
2:57 dreieck entsteht und dass der winkel better der hier zwischen dem vector c und dem vector kreuz b entsteht ebenfalls an dieser position auftritt
3:13 weil eben halt dieser sektor und haar parallel zueinander verlaufen ok betrachten jetzt dieses rechtwinklige dreieck ein bisschen genauer und
3:23 zeichnen es mal raus dann sieht das ja ungefähr so aus immer dieses dreieck hier in die zeichen fläche reinlegen hier ist der sektor c und diese seite
3:33 hier entspricht ja der gesuchten höhe h war das jetzt ja ein rechtliches dreieck ist und der winkel better zwischen der hypothese und dieser an katheter hier
3:44 liegt geht doch die beziehung cosinus beta ist lanka täte also h geteilt durch die hypothese und das ist also der betrag die länge des rektors c
3:59 weil wir jetzt an der höhe h interessiert sind können wir diese gleichung nach h umstellen h ist leicht cosinus better mal den betrag von vector
4:10 c was bringt uns das jetzt alles nun wir haben hier unten gesagt das volumen
4:17 dieses sports ist grundfläche mal höher wir kennen schon die grundfläche des parallelogramm nämlich den betrag des rektors paarkreuz
4:29 b und jetzt haben wir außerdem ein ausdruck für die höhe cosinus blätter mal betrag von web.de wenn wir uns das jetzt hier unten angucken was steht denn
4:40 da hier steht betrag eines rektors der kreuz b ist natürlich ein vector und davon über den betrag also betrag eines rektors mal den betrag eines anderen
4:51 victors mal den cosinus dass von diesen beiden toren eingeschlossenen winkels denn peter liegt hier zwischen am kreuz b und c
5:02 aber das alles ist doch nichts anderes als die cosinus form des scala produktes dieser beiden vektoren ich sortiere das mal und damit uns besser sieht so und in
5:14 dieser form haben wir hier das scala produkt dieser beiden sektoren stehen und weil hier der kursus von dem eingeschlossenen winkel vorkommt ist
5:23 dass die cosinus form des kala produktes ich habe das hier noch mal allgemein an die seite für zwei sektoren omv und damit ich nicht hier auch von besser
5:34 sprechen wenn ich diesen eingeschlossenen winkel jetzt mal gamma so das ist die cosinus form des scala produkt aber das ist doch identisch mit
5:43 der koordinaten form des kala produkt dir einfach sich berechnet aus sektor mit dem dicken mal punkteskala produkt v aufgrund dieser beziehung zwischen den
5:58 la stellungs formen des kaller produktes kann ich doch anstelle das zu schreiben genauso gut das schreiben und für unser problem bedeutet dass wir können diese
6:09 gesamte rechte seite hier genauso gut wie folgt schreiben dass wir hier einmal das kreuz produkte kreuz b das ist der eine vector nehmen und dann
6:23 skala multiplizieren mit dem anderen vector und dann brauchen wir den winkel better gar nicht mehr zu wissen sondern wir brauchen nur noch unsere drei
6:31 vektoren und die haben wir ja gegeben wir haben hier also eine kombination von einem kreuz produkt der vektoren a und b die das parallelogramm hier unten
6:41 aufspannen und davon 1 kalla produkt mit dem sektor c der je nach oben geht von oben betrachtet ist das natürlich ein scalar produkt und das liefert das
6:53 ergebnis eine zahl welche gemäss unseren folgen überlegungen dem volumen des durch diese drei faktoren aufgespannten spaß entspricht das also ist unsere
7:03 volumen formel für unser staat in abhängigkeit der drei sektoren und diese kombination von vector produkt oder kreuz produkt und scala produkt nennt
7:15 man insgesamt spart produkt damit diese formel allerdings immer gilt muss man hier noch betrag striche außenrum setzen warum ist das so weil das scala produkt
7:28 zweier vektoren kann natürlich auch negativ sein was der fall ist wenn der eingeschlossene winkel zwischen diesen beiden sektoren größer 90 grad ist in
7:39 unserer abbildung ist das jetzt hier nicht der fall weil wir die vektoren jetzt sozusagen in der richtigen reihenfolge miteinander verrechnet haben
7:47 wir schon beim kreuz produkt gelernt haben oder beim vector produkt hängt die richtung dieses normalen rektors davon ab wie wir mit b verrechnen rechnen wir
7:59 kreuz b zeigt der vector in diese richtung würden wir aber b kreuz rechnen würde dieser sektor in die andere richtung zeigen leute jetzt hier nur die
8:13 richtung an und dann würden wir ja als eingeschlossenen winkel diesen neben winkel hiervon besser betrachten was
8:22 dann schließlich beim ausrechnen einen negativen wert liefern würde aber wenn wir den betrag nehmen kriegen wir nicht nur einen positiven wert den
8:32 wir ja als volumen auch brauchen sondern wir sorgen automatisch dafür dass die betrachtung so getunt wird dass das unsere zeichnung hier entspricht dann
8:44 kommt es doch gar nicht mehr auf die reihenfolge an in der wir diese vektoren hier auswählen und verrechnen weil wenn wir die reihenfolge dieser
8:52 vektoren abc in dieser formel irgendwie vertauschen dann betrachten wir im prinzip das bildchen von einer anderen seite
8:58 wir würden eine andere grundfläche auswählen und hätten dann natürlich eine andere höhe zu betrachten aber das volumen wäre nach wie vor das gleiche
9:07 ok anwendungsbeispiel berechne das volumen des von den rektoren a b und c aufgespannten spaß hier immer die vektoren gegeben
9:16 zunächst müssen wir das kreuz produkt von a und b berechnen das machen wir als neben rechnung ich blende hier oben nochmal den link ein zu
9:25 dem trick mit der schnellen berechnungsmethode der trick ist ich schreibe beide vektoren zwei mal untereinander also 65 - 1 dann noch mal
9:35 auf der rechten seite genauso dann streiche ich die oberste und unterste zeile durch macht dann so ein schnürsenkel muster wo wir dann immer
9:45 rechnen dass mal dass - das mal dass also fünfmal 48 - - 1 x 2 sind - 42 - zwei sind 42 dann hier genauso
10:10 also lautet unser rektor asb 42 - 49 7 das können jetzt hier oben in die volumen formel 1 tragen also 42 - 49 7 x - 205 betrag strom und scala produkt
10:31 ausrechnen 42 mal - zwei sind - 84 49 x 0 sind 075 sind 35 also jetzt zusammenrechnen -84 +35 sind - 49 davon der betrag ist 49
10:52 also können wir antworten das volumen des von den rektoren a b und c aufgespannten spaß beträgt 49 volumen 1 hätten und so funktionieren danke fürs
11:04 zuschauen abonnieren einen kanal und schlägt auf die glocke und keine videos mehr zu verpassen besucher auf meine website macht auch 13
11:10 de und instagram und der lokalen unterstützung bei einem kanal aufklären das kommt damit ich auch in zukunft videos produzieren kann fragen und
11:17 anregungen immer rein damit einen kommentare freue mich drauf begleichen die videos zum absturz bis dahin [Musik]
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