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Fläche von Parallelogramm und Dreieck mit Vektorprodukt (Kreuzprodukt) bestimmen
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 37 Zeilen
- hallo zu diesem zweiten Video zu Anwendungen des vektorprodukts in diesem Video lernst du wie man mit Hilfe des vektorprodukts ganz einfach den
- Flächeninhalt eines Parallelogramms oder eines Dreiecks bestimmen kann und wir sehen dass es eine ganz schöne Methode ist weil sie in der Regel einfacher und
- schneller als die Berechnung über die klassischen flächenformeln aus der Mittelstufe ist im ersten Video dieser Serie hast du
- ja gelernt dass man mit Hilfe des vektorprodukts oder Kreuz Produkts einen Vektor berechnen kann der gleichzeitig senkrecht zu diesen beiden Vektoren
- steht aber was wir damals noch nicht besprochen haben ist dass eine interessante Beziehung zwischen der Länge dieses Vektors n also dem normalen
- Vektor und dem Flächeninhalt des die Vektoren A und B aufgespannten Parallelogramms besteht und zwar gilt dass der flächeninhaltswert des durch
- die Vektoren A und B aufgespannten Parallelogramms dem längenwert also den Betrag des vektorprodukts von A und B entspricht mit anderen Worten beträgt
- die von A und B aufgespannte parallelogrammfläche z.B fünf Flächeneinheiten so ist die Länge des kreuzproduktvektors fünf
- Längeneinheiten allgemein gilt also die Fläche a des Parallelogramms ist der
- Betrag des vektorprodukts von A Kreuz B dieses Parallelogramm wird natürlich durch die beiden Vektoren A und B aufgespannt aber A und B definieren auch
- eindeutig ein Dreieck so wie hier dargestellt und dieses Dreieck was von A und B aufgespannt wird hat die Hälfte des flächcheninhalts des gesamten
- Parallelogramms daher kann man auch sagen die von A und B aufgespannte Dreiecksfläche entspricht
- ein/b mal den Betrag des vektorprodukts von A und B schauen wir uns zwei Beispiele an in diesem ersten Beispiel sollen wir den
- Flächeninhalt des Parallelogramms berechnen das durch die Vektoren A und B aufgespannt wird hier haben wir die Vektoren A und B und gemäß dem eben
- Gesagten müssen wir das ja berechnen wobei A K B das Vektorprodukt von A und B ist es ist sogar egal ob wir a kuz B oder B K a berechnen weil der
- ergebnisvektor hätte einfach nur umgekehrte Vorzeichen bei den Koordinaten von der Länge aber also dem Betrag wäre dieser trotzdem gleich lang
- okay für unser Problem müssen wir also jetzt a Kre B rechnen und das schreibe ich jetzt hier erstmal als Nebenrechnung und das können wir mit der
- schnellmethode aus dem ersten Video berechnen wir schreiben die Vektoren also zweimal untereinander streichen die oberste und unterste Zeile durch
- Zeichnen dann unser schnürsenkelmuster ein und rechnen das Vektorprodukt aus was sich zu 3 5 - 8 ergibt jetzt müssen wir noch den Betrag
- dieses kreuzproduktes bestimmen und dazu nehmen wir die betragsformel mit der man die Länge
- eines Vektors bestimmt und das ist jetzt diese wurzelformel wobei jede Koordinate quadriert wird also 3 qu + 5 qu +- 8 qu das ergibt urel
- 98 und das ist genähert 9,90 als Antwortsatz kann man sagen der Flächeninhalt des durch A und B aufgespannten Parallelogramms beträgt
- ungefähr 9,90 Flächeneinheiten so schauen wir uns auch dieses zweite Beispiel an berechnen den Flächeninhalt des durch die Punkte ABC
- gegebenen Dreiecks und dann haben wir hier die Punkte gegeben und dieses Dreieck liegt ja irgendwie im Raum aber wir können uns dieses Dreieck
- aufgespannt vorstellen durch die Vektoren ab und AC und für den Flächeninhalt gilt dann ja dass dieser ein halb mal ab Kre AC
- ist als Nebenrechnung müssen wir eben ab und AC berechnen wir rechnen ja immer spitze Fuß bei diesem Vektor ist B die Spitze
- also -2 1 3 -- 102 das liefert -3 1 1 und AC berechnen wir analog dann bekommen wir das raus
- jetzt berechnen wir das Kreuzprodukt oder das Vektorprodukt und um das auszurechnen benutzen wir wieder unsere stuhsenkelmethode und so erhalten wir -3
- - 2 - 7 das tragen wir jetzt hier unten ein so und jetzt wenden wir wieder unsere wurzelformel an zur Berechnung dieses Betrags also ein/b mal die Wurzel
- von -3² + -2² + -7² das liefert 1/b mal √ 62 und das ist näherungsweise 3,94 also könnten wir den Antwortsatz
- formulieren dass du durch die Punkte A B C aufgespannte Dreieck hat einen Flächeninhalt von ungefähr 3,94
- Flächeneinheiten so ich hoffe du hast verstanden wie man jetzt mit Hilfe des vektorprodukts sehr einfach den Flächeninhalt von Parallelogramm und
- Dreieck bestimmen kann und das Schöne ist eben halt hier können wir direkt mit den Koordinaten bzw mit den Vektoren arbeiten und wir müssen z.B beim Dreieck
- nicht zuerst diese Höhe über dieser Grundseite bestimmen sondern wir schmeißen mehr oder weniger die Koordinaten in die Formeln rein und
- können direkt den Flächeninhalt berechnen wenn es dir gefallen hat gib mir doch einen Daumen hoch und wenn du denkst dass deine Freunde und Mitschüler
- auch gefallen dran hätten dann empfihl mich doch bitte weiter und dann sehen wir uns beim nächsten Video bis dahin alles Gute
- tschüss [Musik]
Zum Nachlesen
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DreiecksflächeDie exakte Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks ist eines der ältesten Probleme der Geometrie. Bereits im antiken Ägypten stellte es sich, wenn nach …
SpatproduktDas Spatprodukt, auch gemischtes Produkt genannt, ist das Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren und einem dritten Vektor.
Parallelogramm... Rauten. Formeln. Bearbeiten. Mathematische Formeln zum Parallelogramm. Flächeninhalt. (siehe Satz des Heron). A = a ⋅ h a = b ⋅ h b = | | A B → × A …