Zinsrechnung: Formeln, Beispiele und Aufgaben

Wenn du Geld anlegst, kann die Bank dir Zinsen zahlen. Bei einem Kredit zahlst du dagegen Zinsen für geliehenes Geld. Die drei Grundgrößen sind immer dieselben: Das Kapital K ist der Geldbetrag, der angelegt oder ausgeliehen wird. Der Zinssatz p sagt, wie viel Prozent davon als Zinsen anfallen. Die Zinsen Z sind der Geldbetrag, der durch die Verzinsung entsteht. Für ein Jahr gilt: Z=\frac{K\cdot p}{100} In dieser Formel setzt du für p die Prozentzahl ohne Prozentzeichen ein: Bei 4\,\% verwendest du also p=4. Achte darauf: Zinsen sind nur der hinzugekommene Betrag. Erst Kapital plus Zinsen ergibt den Endbetrag.

Zinsen hängen nicht nur von Kapital und Zinssatz ab, sondern auch von der Laufzeit. Bei einfacher Verzinsung werden sie proportional zur Zeit berechnet: Eine halb so lange Laufzeit ergibt bei gleichem Kapital und Zinssatz halb so viele Zinsen. Mehrere Jahre ohne Zinseszins: Für t Jahre mit einfachen Zinsen gilt: Z=\frac{K\cdot p\cdot t}{100} Dabei bleibt das Startkapital in jedem Jahr die Berechnungsgrundlage. Monatszinsen: Ein Jahr hat zwölf Monate. Für m Monate gilt deshalb: Z=\frac{K\cdot p\cdot m}{100\cdot12}=\frac{K\cdot p\cdot m}{1\,200} Tageszinsen: In den Tageszinsaufgaben dieser Seite gilt die kaufmännische Zeitrechnung: Ein Jahr hat 360 Tage, ein Monat hat 30 Tage. Für t Tage lautet die Formel: Z=\frac{K\cdot p\cdot t}{100\cdot360}=\frac{K\cdot p\cdot t}{36\,000}

Manchmal sind die Zinsen schon bekannt. Dann fragst du zuerst: Welche Größe wird gesucht? Anschließend stellst du die Grundformel passend um. Für ein Jahr gelten diese drei Formen: Z=\frac{K\cdot p}{100} K=\frac{Z\cdot100}{p} p=\frac{Z\cdot100}{K} Bei Monatszinsen kannst du entsprechend umstellen: K=\frac{Z\cdot1\,200}{p\cdot m} p=\frac{Z\cdot1\,200}{K\cdot m} m=\frac{Z\cdot1\,200}{K\cdot p} Für kaufmännische Tageszinsen ersetzt du 1\,200 durch 36\,000 und m durch die Tageszahl t. Wenn eine Aufgabe Anfangs- und Endbetrag nennt, berechnest du zuerst die Zinsen als Differenz: Z=\text{Endbetrag}-\text{Anfangskapital} Erst danach bestimmst du beispielsweise den Zinssatz.

Bei mehreren Jahren musst du klären, was mit den Zinsen geschieht. Bei einfacher Verzinsung werden die Zinsen jedes Jahr nur aus dem Startkapital berechnet. Der jährliche Zinsbetrag bleibt gleich. Beim Zinseszins werden die gutgeschriebenen Zinsen zum Kapital addiert. Im nächsten Jahr werden auch diese früheren Zinsen mitverzinst. Mit Zinseszins ist der Endbetrag im Beispiel unten nach drei Jahren um 4{,}09\,€ höher, weil die Zinsen aus den ersten Jahren später selbst Zinsen bringen.