Mathematik · Klasse 8–9 · aktualisiert
1. binomische Formel: Erklärung und Übungen
Die 1. binomische Formel löst das Quadrat einer Summe auf. Du lernst, sie herzuleiten und vorwärts wie rückwärts sicher anzuwenden.
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Kurz gesagt
Die 1. binomische Formel lautet (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Du quadrierst beide Summanden und addierst dazwischen das doppelte Produkt 2ab. Beispiel: (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9.
Warum ist (2+3)^2 gleich 25 und nicht 2^2 + 3^2 = 13? Beim Quadrieren einer Summe entstehen mehr als nur zwei Quadrate. Die 1. binomische Formel (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 zeigt dir, was dazukommt. Hier lernst du, woher sie kommt, wie du sie auf Terme wie (2x+5)^2 anwendest und wie du sie rückwärts erkennst.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Das Quadrat einer Klammer heißt: Die Klammer wird mit sich selbst multipliziert, also (a+b)^2 = (a+b)(a+b). Multiplizierst du jeden Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten, entsteht a^2 + ab + ab + b^2. Weil ab = ba ist, sind die beiden gemischten Produkte gleich. Zusammen ergeben sie 2ab. Am Flächenbild siehst du dasselbe: Ein Quadrat mit der Seitenlänge a + b zerfällt in vier Teilflächen. Für dieses Bild müssen a und b Längen sein, die Formel selbst gilt aber für alle Zahlen und Terme.
Definition
1. binomische Formel
Für alle Zahlen oder Terme a und b gilt (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Links steht das Quadrat einer Summe, rechts das erste Quadrat, das doppelte Produkt und das zweite Quadrat.
| Teilfläche im Quadrat mit Seite a + b | Seitenlängen | Fläche |
|---|---|---|
| großes Eckquadrat | a und a | a^2 |
| erstes Rechteck | a und b | ab |
| zweites Rechteck | b und a | ab |
| kleines Eckquadrat | b und b | b^2 |
Merke: Erstes Quadrat – doppeltes Produkt – zweites Quadrat: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
Teste dich
Gehe in drei Schritten vor. Bestimme zuerst den vollständigen ersten und zweiten Teilterm. Setze beide in a^2 + 2ab + b^2 ein. Berechne dann die Quadrate und das doppelte Produkt. Steht vor der Variablen eine Zahl, gehört sie zum Teilterm dazu: Bei (2x+5)^2 ist a = 2x und nicht nur x. Setze beim Einsetzen deshalb Klammern, zum Beispiel (2x)^2. Auch ein Teilterm mit einer Potenz wird als Ganzes eingesetzt.
Beispiel: (2x+5)^2 auflösen
- 1Teilterme: a = 2x und b = 5
- 2(2x+5)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2
- 3(2x)^2 = 4x^2, 2 \cdot 2x \cdot 5 = 20x und 5^2 = 25
- 4(2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25
Beispiel: Ein Teilterm mit Potenz: (y^2+x)^2
- 1Teilterme: a = y^2 und b = x
- 2(y^2+x)^2 = (y^2)^2 + 2 \cdot y^2 \cdot x + x^2
- 3(y^2+x)^2 = y^4 + 2xy^2 + x^2
Merke: Quadriere immer den ganzen Teilterm: (2x)^2 = 4x^2 und nicht 2x^2.
Teste dich
Die Formel funktioniert auch rückwärts: a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2. So schreibst du eine Summe als Quadrat. Das nennt man Faktorisieren. Prüfe einen Term mit drei Summanden in drei Schritten: Ist der erste Summand ein Quadrat a^2? Ist der letzte ein Quadrat b^2? Ist der mittlere genau 2ab? Nur wenn alle drei Prüfungen passen, liegt die 1. binomische Formel vor. Steht der Term ungeordnet da, sortierst du ihn zuerst.
Beispiel: x^2 + 6x + 9 als Quadrat schreiben
- 1Aus x^2 folgt a = x, aus 9 = 3^2 folgt b = 3.
- 2Mittelterm prüfen: 2 \cdot x \cdot 3 = 6x passt.
- 3x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2
Beispiel: 25 + 10x + x^2 erkennen
- 1Ordnen: 25 + 10x + x^2 = x^2 + 10x + 25
- 2a = x und b = 5, denn 2 \cdot x \cdot 5 = 10x
- 325 + 10x + x^2 = (x+5)^2
Teste dich
Der häufigste Fehler ist (a+b)^2 = a^2 + b^2. Er lässt die beiden gemischten Produkte weg. Ein einziges Gegenbeispiel genügt, um ihn zu widerlegen. Weitere Fehlerquellen: Das doppelte Produkt wird vergessen oder nur einfach genommen. Nur die Variable statt des ganzen Teilterms wird quadriert. Und beim Rückwärtsrechnen werden nur die Randquadrate geprüft, nicht aber der Mittelterm.
Beispiel: Gegenbeispiel mit a = 2 und b = 3
- 1Richtig: (2+3)^2 = 5^2 = 25
- 2Die falsche Abkürzung ergäbe 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13.
- 3Da 25 \ne 13 ist, kann (a+b)^2 = a^2 + b^2 nicht allgemein stimmen.
Merke: Zwei passende Quadrate allein reichen nicht. Der Mittelterm muss genau das doppelte Produkt ihrer Grundterme sein.
Teste dich
Alles auf einen Blick
1. binomische Formel
Formel
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Herleitung
jeden Term mit jedem Term multiplizieren
Flächenbild
a^2, zweimal ab und b^2
Einsetzen
vollständige Teilterme quadrieren
Rückwärts
Randquadrate und Mittelterm prüfen
Fehlerkontrolle
2ab nie vergessen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
(3x+4)^2 ausmultiplizieren und prüfen
- 1Teilterme: a = 3x und b = 4
- 2(3x)^2 = 9x^2, 2 \cdot 3x \cdot 4 = 24x und 4^2 = 16
- 3(3x+4)^2 = 9x^2 + 24x + 16
- 4Probe mit x = 1: (3+4)^2 = 49 und 9 + 24 + 16 = 49
Fehler finden
41^2 im Kopf berechnen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Das doppelte Produkt fehlt. Richtig ist (40+1)^2 = 40^2 + 2 \cdot 40 \cdot 1 + 1^2 = 1600 + 80 + 1 = 1681.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim Ausmultiplizieren von (a+b)^2 entsteht das gemischte Produkt ab . Der Mittelterm heißt deshalb Produkt. Bei (3x)^2 wird die Zahl 3 .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback