Mathematik · Klasse 8 · aktualisiert
Boxplot erstellen und interpretieren – einfach erklärt
Ein Boxplot zeigt eine Datenreihe mit nur fünf Kennwerten. Du lernst, Quartile zu berechnen, den Boxplot zu zeichnen und zwei Verteilungen zu vergleichen.
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Kurz gesagt
Ein Boxplot ist ein Diagramm aus fünf Kennwerten: Minimum, unteres Quartil Q_1, Median, oberes Quartil Q_3 und Maximum. Die Box reicht von Q_1 bis Q_3 und enthält die mittleren 50 % der Daten, die Linie darin ist der Median. Die Whisker führen zu Minimum und Maximum.
Ein Boxplot fasst eine geordnete Datenreihe mit fünf Kennwerten zusammen: Minimum, unteres Quartil, Median, oberes Quartil und Maximum. So erkennst du schnell, wo die Daten liegen und wie stark sie streuen. Das hilft zum Beispiel, wenn du die Testergebnisse von zwei Klassen vergleichen willst.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir vor, du möchtest viele Messwerte übersichtlich darstellen. Ein Boxplot zeigt nicht jeden Einzelwert, sondern eine Fünf-Punkte-Zusammenfassung. Die Box reicht vom unteren Quartil Q_1 bis zum oberen Quartil Q_3. In ihr liegen die mittleren 50 % der geordneten Daten. Eine Linie in der Box kennzeichnet den Median.
Definition
Boxplot
Ein Boxplot, auch Kastengrafik genannt, stellt die Lage und Streuung einer Datenreihe mithilfe von fünf Kennwerten dar.
| Kennwert | Bedeutung |
|---|---|
| Minimum | kleinster Wert |
| unteres Quartil Q_1 | Grenze des unteren Viertels |
| Median | teilt die geordneten Daten in zwei Hälften |
| oberes Quartil Q_3 | Grenze des oberen Viertels |
| Maximum | größter Wert |
Merke: Bevor du Median und Quartile bestimmst, musst du die Daten immer der Größe nach ordnen.
Teste dich
Ordne die Daten zuerst der Größe nach. Bei einer geraden Anzahl ist der Median das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte. Die untere Hälfte der Daten liefert das untere Quartil Q_1, die obere Hälfte das obere Quartil Q_3: Du bestimmst jeweils den Median dieser Hälfte. Bei einer ungeraden Anzahl ist der mittlere Wert der Median. Für die Quartile nutzt du dann die Daten links und rechts davon, ohne den Median noch einmal einzubeziehen. Aus den Kennwerten folgen zwei Streumaße: der Interquartilsabstand \mathrm{IQR} = Q_3 - Q_1 für die mittleren 50 % und die Spannweite von Minimum bis Maximum. Halte dich bei Aufgaben immer an die dort vorgegebene Berechnungsregel.
Beispiel: Kennwerte der Datenreihe A
- 1Geordnete Daten: 8; 8; 12; 14; 14; 17; 19; 20
- 2Minimum 8 und Maximum 20
- 3Median aus dem 4. und 5. Wert: \frac{14 + 14}{2} = 14
- 4Untere Hälfte 8; 8; 12; 14, also Q_1 = \frac{8 + 12}{2} = 10
- 5Obere Hälfte 14; 17; 19; 20, also Q_3 = \frac{17 + 19}{2} = 18
- 6\mathrm{IQR} = 18 - 10 = 8 und Spannweite R = 20 - 8 = 12
Teste dich
Die Boxlänge entspricht dem Interquartilsabstand. Je länger die Box ist, desto stärker streuen die mittleren 50 % der Daten. Für die Whisker, also die Linien außerhalb der Box, gibt es unterschiedliche Regeln. In einfachen Schulaufgaben reichen sie meist bis zum Minimum und Maximum. Bei der Ausreißerdarstellung mit der 1,5-IQR-Regel enden sie am äußersten Wert, der noch zwischen Q_1 - 1{,}5 \cdot \mathrm{IQR} und Q_3 + 1{,}5 \cdot \mathrm{IQR} liegt. Weiter entfernte Werte werden einzeln als Ausreißer markiert. Prüfe deshalb, welche Regel in der Aufgabe gilt.
Beispiel: Den Boxplot für Datenreihe A zeichnen
- 1Zeichne eine Zahlengerade von etwa 5 bis 25.
- 2Markiere Q_1 = 10 und Q_3 = 18 und verbinde beide Grenzen zu einer Box.
- 3Zeichne bei 14 die Medianlinie in die Box.
- 4Verbinde die Box mit den Whiskern bis zum Minimum 8 und zum Maximum 20.
Merke: Den Median liest du direkt ab. Das arithmetische Mittel und die Standardabweichung zeigt ein Standard-Boxplot nicht; eine zusätzliche Mittelwertmarkierung ist möglich, aber nicht Pflicht.
Teste dich
Für einen Vergleich brauchst du mehr als einen Kennwert. Betrachte die Datenreihen A: 8; 8; 12; 14; 14; 17; 19; 20 und B: 8; 10; 12; 14; 14; 17; 17; 20. Beide Reihen haben denselben Median, ihre zentrale Lage ist nach diesem Kennwert gleich. Auch ihre Spannweiten stimmen überein. Der IQR von B ist jedoch kleiner. Deshalb liegen die mittleren 50 % der Werte bei B enger zusammen. Diese Aussage bezieht sich auf den mittleren Datenbereich, nicht automatisch auf jeden Einzelwert.
| Kennwert | Datenreihe A | Datenreihe B |
|---|---|---|
| Minimum | 8 | 8 |
| Q_1 | 10 | 11 |
| Median | 14 | 14 |
| Q_3 | 18 | 17 |
| Maximum | 20 | 20 |
| IQR | 8 | 6 |
| Spannweite | 12 | 12 |
Merke: Vergleiche Boxplots mindestens nach Lage und Streuung: Der Median beschreibt die zentrale Lage, der IQR die Streuung der mittleren Hälfte und die Spannweite den gesamten Wertebereich.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Boxplot
Vorbereitung
Daten der Größe nach ordnen
Kennwerte
Minimum, Q_1, Median, Q_3, Maximum
Darstellung
Box, Medianlinie und Whisker
Lage
Median vergleichen
Streuung
\mathrm{IQR} = Q_3 - Q_1 und Spannweite vergleichen
Grenzen
Einzelwerte und Mittelwert sind meist nicht ablesbar
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Testpunkte von neun Schülern
- 1Daten: 12; 15; 9; 18; 14; 20; 11; 16; 13
- 2Ordnen: 9; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 18; 20
- 3Minimum 9 und Maximum 20
- 49 Werte, also ist der 5. Wert der Median: 14
- 5Untere Hälfte ohne Median 9; 11; 12; 13, also Q_1 = \frac{11 + 12}{2} = 11{,}5
- 6Obere Hälfte ohne Median 15; 16; 18; 20, also Q_3 = \frac{16 + 18}{2} = 17
- 7\mathrm{IQR} = 17 - 11{,}5 = 5{,}5 und Spannweite 20 - 9 = 11
Fehler finden
Median von 5; 12; 3; 9; 7; 10; 4 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Die Daten wurden nicht geordnet. Geordnet lauten sie 3; 4; 5; 7; 9; 10; 12. Der 4. Wert ist 7, also ist der Median 7. Damit gilt Q_1 = 4 und Q_3 = 10.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Datenreihe B hat den IQR . Ihre mittleren 50 % streuen deshalb als bei A. Der Median ist in beiden Reihen .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback