Mathematik · Klasse 7–8 · aktualisiert
Winkelhalbierende konstruieren und verstehen
Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei gleiche Hälften. Du lernst, sie zu zeichnen, zu konstruieren und ihre Abstandseigenschaft zu nutzen.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die Winkelhalbierende ist die Halbgerade durch den Scheitelpunkt, die einen Winkel in zwei gleich große Teilwinkel teilt: Aus 130^\circ werden zweimal 65^\circ. Jeder Punkt auf ihr hat zu beiden Schenkeln denselben Abstand. Du zeichnest sie mit dem Geodreieck oder konstruierst sie mit Zirkel und Lineal.
Eine Winkelhalbierende verläuft durch den Scheitelpunkt eines Winkels und teilt ihn in zwei gleich große Winkel. Du kannst sie durch Messen mit dem Geodreieck oder exakt mit Zirkel und Lineal bestimmen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Ein Winkel besteht aus zwei Schenkeln, die am Scheitelpunkt beginnen. Die Winkelhalbierende startet ebenfalls am Scheitelpunkt und liegt genau zwischen den Schenkeln. Eine Linie, die nur nach Augenmaß mittig wirkt, kann ungenau sein. Miss deshalb die Teilwinkel nach oder konstruiere sie mit dem Zirkel.
Definition
Winkelhalbierende
Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade durch den Scheitelpunkt, die einen Winkel in zwei gleich große Teilwinkel zerlegt.
Beispiel: Einen Winkel von 130^\circ halbieren
- 1130^\circ : 2 = 65^\circ
- 2Beide Teilwinkel sind 65^\circ groß.
- 3Eine Linie, die nur ungefähr mittig liegt oder den Scheitelpunkt verfehlt, ist keine Winkelhalbierende.
Merke: Prüfe immer beide Bedingungen: Die Linie verläuft durch den Scheitelpunkt und die beiden Teilwinkel sind gleich groß.
Teste dich
Beim Zeichnen mit dem Geodreieck misst du zuerst die Winkelgröße. Danach trägst du die Hälfte davon ab. Lege den Nullpunkt des Geodreiecks auf den Scheitelpunkt. Richte eine Kante an einem Schenkel aus. Miss die Größe des ganzen Winkels. Teile den Messwert durch zwei. Markiere den halbierten Wert, vom ausgerichteten Schenkel aus gemessen. Verbinde den Scheitelpunkt mit der Markierung. Achte darauf, die Skala zu nutzen, die an dem ausgerichteten Schenkel bei 0^\circ beginnt.
Beispiel: Winkelhalbierende eines 130^\circ-Winkels zeichnen
- 1Halbieren: 130^\circ : 2 = 65^\circ
- 2Bei 65^\circ markieren, vom ausgerichteten Schenkel aus gemessen
- 3Scheitelpunkt und Markierung verbinden
- 4Kontrolle: Beide Teilwinkel messen 65^\circ.
Teste dich
Bei einer geometrischen Konstruktion misst du keine Winkelzahl. Du erzeugst gleiche Abstände mit dem Zirkel. Es genügen Kreisbögen. Bei einer Konstruktionsaufgabe lässt du die Zirkelspuren sichtbar, damit dein Vorgehen überprüfbar bleibt. Warum funktioniert das? Die Strecken SE und SF sind gleich lang, weil sie mit derselben Zirkeleinstellung entstanden sind. Ebenso gilt EG = FG. Die Strecke SG gehört zu beiden entstehenden Dreiecken. Deshalb liegen E und F spiegelbildlich zu SG, und die Winkelhalbierende verläuft durch S und G.
Beispiel: Konstruktion mit Zirkel und Lineal
- 1Bogen um den Scheitelpunkt S: Er schneidet die Schenkel in E und F.
- 2Bogen um E in das Winkelfeld zeichnen.
- 3Mit demselben Radius einen Bogen um F zeichnen.
- 4Schnittpunkt der beiden Bögen: G
- 5Halbgerade von S durch G zeichnen.
Merke: Die Bögen um E und F brauchen denselben Radius. Schneiden sie sich nicht, vergrößerst du den Radius für beide Bögen gleichermaßen.
Teste dich
Der Abstand eines Punktes von einem Schenkel ist die Länge der kürzesten, also senkrechten Verbindung zu diesem Schenkel. Damit gelten zwei Richtungen: Liegt ein Punkt auf der Winkelhalbierenden, hat er zu beiden Schenkeln denselben Abstand. Hat ein Punkt im Winkel zu beiden Schenkeln denselben Abstand, liegt er auf der Winkelhalbierenden. Im Dreieck schneiden sich die Winkelhalbierenden der drei Innenwinkel in einem Punkt. Dieser Punkt hat zu allen drei Seiten denselben Abstand und ist deshalb der Mittelpunkt des Inkreises. Miss den Abstand immer senkrecht zum Schenkel, nie schräg.
Definition
Ortslinie
Eine Ortslinie ist die Menge aller Punkte mit einer bestimmten gemeinsamen Eigenschaft. Die Winkelhalbierende ist die Ortslinie der Punkte im Winkel, die von beiden Schenkeln gleich weit entfernt sind.
Beispiel: Liegt P auf der Winkelhalbierenden?
- 1P liegt im Inneren des Winkels.
- 2Senkrechter Abstand zum ersten Schenkel: 2 cm
- 3Senkrechter Abstand zum zweiten Schenkel: 2 cm
- 4Gleiche Abstände: P liegt auf der Winkelhalbierenden, ohne dass du Winkel misst.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Winkelhalbierende
Bedeutung
zwei gleich große Teilwinkel
Erkennungsmerkmale
Scheitelpunkt und gleiche Winkelgrößen
Geodreieck
messen, halbieren, abtragen
Zirkel und Lineal
gleiche Abstände konstruieren
Ortslinie
gleicher senkrechter Abstand zu beiden Schenkeln
Dreieck
Schnittpunkt als Mittelpunkt des Inkreises
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Die Winkelhalbierende eines 148^\circ-Winkels zeichnen
- 1Winkel messen: 148^\circ
- 2Halbieren: 148^\circ : 2 = 74^\circ
- 3Bei 74^\circ markieren, vom ausgerichteten Schenkel aus gemessen
- 4Scheitelpunkt und Markierung verbinden
- 5Kontrolle: 74^\circ + 74^\circ = 148^\circ
Fehler finden
Winkelhalbierende mit Zirkel und Lineal konstruieren In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Um F muss derselbe Radius wie um E verwendet werden, also 3 cm. Sonst ist EG \neq FG, und die Halbgerade durch G halbiert den Winkel nicht.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Zuerst wird der gemessen. Danach wird der Messwert durch geteilt. Die neue Linie beginnt am .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback