Zufallsexperiment: Ergebnisse und Chancen verstehen

Stell dir vor, du würfelst. Der Ablauf ist geplant, die möglichen Augenzahlen sind bekannt und trotzdem weißt du vorher nicht, welche Zahl fällt. Im Schulunterricht wird meist zusätzlich verlangt, dass sich der Versuch unter gleichen Bedingungen wiederholen lässt. Beim Ziehen aus einer Urne stellst du dieselben Ausgangsbedingungen wieder her, indem du die gezogene Kugel zurücklegst und die Kugeln erneut mischst. In einer weiter gefassten Verwendung können auch einmalige Zufallsvorgänge als Zufallsexperimente bezeichnet werden. Deshalb kann die Einordnung eines einmaligen Vorgangs davon abhängen, welche Definition verwendet wird. Ein Gegenbeispiel ist eine vollständig vorhersehbare Handlung: Du legst einen roten Stift auf den Tisch. Das Ergebnis steht bereits fest und ist daher nicht zufällig.

Beim Würfeln kannst du nicht nur einzelne Augenzahlen betrachten. Du kannst auch mehrere passende Augenzahlen zu einer Aussage zusammenfassen. Ein Ergebnis ist ein einzelner möglicher Ausgang, beim Würfelwurf zum Beispiel die Zahl 3. Im Ergebnisraum steht jedes mögliche Ergebnis genau einmal. Eine 7 gehört nicht zum Ergebnisraum eines üblichen Würfels. Das sichere Ereignis enthält alle Ergebnisse aus \Omega. Das unmögliche Ereignis enthält kein Ergebnis. Beim üblichen Würfel ist „höchstens 6“ sicher und „Augenzahl 7“ unmöglich.

Eine Wahrscheinlichkeit beschreibt, wie groß die Chance für ein Ereignis ist. Sie liegt zwischen 0 und 1 beziehungsweise zwischen 0 % und 100 %. Ein unmögliches Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0. Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1 beziehungsweise 100 %. „Günstig“ bedeutet dabei nur: Das Ergebnis gehört zum untersuchten Ereignis. Es muss kein persönlicher Gewinn sein. Bei einem Glücksrad mit unterschiedlich großen Feldern darfst du nicht einfach „günstige durch mögliche Ergebnisse“ rechnen. Ein großes Feld wird häufiger getroffen als ein kleines. Die bloße Anzahl der Beschriftungen reicht dann nicht aus. Ein Spiel mit denselben Regeln für alle ist fair, wenn keine Person durch die Gewinnchancen bevorzugt wird. Prüfe dafür zuerst den Aufbau des Spiels. Eine kurze Versuchsserie beweist nicht, dass ein Spiel fair oder unfair ist, denn Häufigkeiten schwanken zufällig.

Ein einzelner Versuch kann überraschend ausfallen. Wenn du ein Zufallsexperiment oft wiederholst, kannst du die Ergebnisse in einer Strichliste sammeln. Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein Ergebnis tatsächlich vorkam. Die relative Häufigkeit vergleicht diese Zahl mit der Gesamtzahl aller Durchführungen: \text{relative Häufigkeit}=\frac{\text{absolute Häufigkeit}}{\text{Anzahl der Durchführungen}} Bei vielen Wiederholungen werden häufig stabilere Muster sichtbar. Trotzdem lässt sich der nächste einzelne Ausgang nicht sicher vorhersagen. Beim zweimaligen Münzwurf gilt mit K für Kopf und Z für Zahl: \Omega=\{KK,KZ,ZK,ZZ\} KZ und ZK sind verschiedene Ergebnisse, weil die Reihenfolge der Würfe verschieden ist. Ob Ziehungen voneinander abhängen, kann von den Bedingungen abhängen. Beim Ziehen mit Zurücklegen wird der ursprüngliche Urneninhalt wiederhergestellt. Ohne Zurücklegen verändert die erste Ziehung die Bedingungen für die zweite. Für einen eigenen Versuch legst du Frage, Material und Regeln fest, zum Beispiel: „Wie oft fällt bei 30 Würfen eine 6?“ Notiere den Ergebnisraum, führe jede Wiederholung auf dieselbe Weise durch und halte jedes Ergebnis sofort in einer Strichliste fest. Am Ende vergleichst du die Häufigkeiten.