Mathematik · Klasse 7–8 · aktualisiert
y-Achsenabschnitt berechnen und sicher erkennen
Der y-Achsenabschnitt zeigt, wo ein Graph die y-Achse schneidet. Du lernst, ihn mit f(0) zu berechnen, abzulesen und von Nullstellen zu trennen.
0 von 13 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Der y-Achsenabschnitt ist der Funktionswert an der Stelle x=0, also f(0). Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt S_y(0\mid f(0)). Bei einer Geraden f(x)=mx+b liest du ihn direkt als b ab: f(x)=3x-2 hat den y-Achsenabschnitt -2.
Auf der y-Achse gilt immer x=0. Ist eine Funktion dort definiert, berechnest du ihren y-Achsenabschnitt deshalb mit f(0). Der Schnittpunkt lautet S_y(0\mid f(0)).
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Jeder Punkt auf der senkrechten y-Achse hat die x-Koordinate 0. Für den Schnittpunkt eines Funktionsgraphen mit dieser Achse untersuchst du daher, welchen Wert die Funktion bei x=0 hat. Gehe in drei Schritten vor: Prüfe zuerst, ob x=0 zum Definitionsbereich gehört. Berechne dann f(0). Notiere zum Schluss den Schnittpunkt als S_y(0\mid f(0)).
Definition
y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt oder Ordinatenabschnitt ist der Funktionswert f(0). Der zugehörige Schnittpunkt mit der y-Achse ist S_y(0\mid f(0)).
Beispiel: y-Achsenabschnitt von f(x)=-x^3+2x-1
- 1x=0 einsetzen: f(0)=-(0)^3+2\cdot 0-1=-1
- 2y-Achsenabschnitt: -1
- 3Schnittpunkt: S_y(0\mid -1)
Merke: Ein Zahlenwert wie -1 bezeichnet den y-Achsenabschnitt. Ein Punkt wie (0\mid -1) bezeichnet den Schnittpunkt mit der y-Achse.
Teste dich
Bei einer linearen Funktion in der Form f(x)=mx+b ist m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt. Denn beim Einsetzen von x=0 verschwindet der Term m\cdot x: f(0)=m\cdot 0+b=b Fehlt der konstante Summand, ist b=0. Die Gerade verläuft dann durch den Ursprung. Auch bei einem ausmultiplizierten Polynom ist der y-Achsenabschnitt das konstante Glied. Alle Terme mit einer positiven Potenz von x werden bei x=0 zu null.
| Funktion | y-Achsenabschnitt | Schnittpunkt |
|---|---|---|
| f(x)=3x+5 | 5 | (0\mid 5) |
| g(x)=3x-2 | -2 | (0\mid -2) |
| h(x)=3x | 0 | (0\mid 0) |
Beispiel: Polynom ohne konstantes Glied: p(x)=4x^2+2x
- 1p(0)=4\cdot 0^2+2\cdot 0=0
- 2Der Graph schneidet die y-Achse im Ursprung (0\mid 0).
Teste dich
Kennst du die Steigung m und einen Punkt P(x\mid y) der Geraden, setzt du diese Angaben in y=mx+b ein. Anschließend löst du die Gleichung nach b auf. Manche Bücher schreiben statt b den Buchstaben t. Das Verfahren bleibt gleich: Der konstante Summand ist der y-Achsenabschnitt. Ist die Steigung noch unbekannt, brauchst du zuerst zwei Punkte. Die Steigung ist dann die Änderung der y-Werte geteilt durch die Änderung der x-Werte (siehe Musteraufgabe).
Beispiel: b aus m=-1{,}6 und P(2\mid -0{,}5)
- 1Einsetzen: -0{,}5=-1{,}6\cdot 2+b
- 2Multiplizieren: -0{,}5=-3{,}2+b
- 3Auf beiden Seiten 3{,}2 addieren: b=2{,}7
- 4Schnittpunkt: (0\mid 2{,}7)
Teste dich
Die Regel S_y(0\mid f(0)) gilt nur, wenn f(0) existiert. Deshalb prüfst du vor dem Rechnen, ob die Funktion bei x=0 definiert ist. Bei einer gebrochenrationalen Funktion darf der Nenner nicht null werden. Wird er durch x=0 zu null, besitzt der Graph keinen y-Achsenabschnitt. Du darfst dann nicht einfach nur den Zähler einsetzen oder den Nenner übergehen. Auch die natürliche Logarithmusfunktion f(x)=\ln(x) hat keinen y-Achsenabschnitt. Ihr Definitionsbereich besteht aus positiven Zahlen; x=0 gehört nicht dazu. Nicht mit der x-Achse verwechseln: Für einen Schnittpunkt mit der x-Achse gilt nicht x=0, sondern y=0. Du löst deshalb die Gleichung f(x)=0. Die gefundenen x-Werte heißen Nullstellen. Ein Funktionsgraph kann mehrere Nullstellen besitzen. An der Stelle x=0 kann eine Funktion dagegen höchstens einen Funktionswert und damit höchstens einen y-Achsenschnittpunkt haben.
Merke: f(0)=0 und „f(0) ist nicht definiert“ bedeuten etwas völlig Verschiedenes. Im ersten Fall schneidet der Graph die y-Achse im Ursprung. Im zweiten Fall gibt es keinen y-Achsenschnittpunkt.
Teste dich
Alles auf einen Blick
y-Achsenabschnitt
Grundregel
x=0 einsetzen und f(0) bestimmen, der Punkt ist (0\mid f(0))
Gerade
konstanten Summanden b ablesen
Polynom
konstantes Glied ablesen
Steigung und Punkt
in y=mx+b einsetzen und nach b auflösen
Voraussetzung
Funktion ist bei x=0 definiert
Abgrenzung
Nullstellen entstehen aus f(x)=0
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Gerade durch A(-2\mid 1) und B(4\mid 10): y-Achsenabschnitt
- 1Steigung: m=\frac{10-1}{4-(-2)}=\frac{9}{6}=1{,}5
- 2A(-2\mid 1) in y=1{,}5x+b einsetzen: 1=1{,}5\cdot (-2)+b
- 31=-3+b
- 4b=4
- 5Schnittpunkt mit der y-Achse: (0\mid 4)
Fehler finden
Gerade mit m=-2 durch P(3\mid 1): finde den Fehler In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Um -6 auf der rechten Seite wegzubekommen, addierst du auf beiden Seiten 6: b=1+6=7. Der Schnittpunkt ist (0\mid 7).
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Auf der y-Achse gilt immer . Bei f(x)=mx+b ist der y-Achsenabschnitt. Für die Nullstellen löst du die Gleichung .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback