Mathematik · Klasse 7–8 · aktualisiert
Zinseszins berechnen: Formel, Beispiele, Übungen
Beim Zinseszins bringen Zinsen selbst wieder Zinsen. Du lernst den Zinsfaktor kennen und berechnest End- und Anfangskapital.
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Kurz gesagt
Zinseszins entsteht, wenn gutgeschriebene Zinsen im Kapital bleiben und später selbst verzinst werden. Das Endkapital nach n Jahren ist K_n = K_0 \cdot q^n mit dem Zinsfaktor q = 1 + \frac{p}{100}. So wachsen 2.000 € zu 10 % in zwei Jahren auf 2.420 €.
Beim Zinseszins werden nicht nur dein Startkapital, sondern auch bereits gutgeschriebene Zinsen weiterverzinst. Deshalb wächst das Kapital bei einem positiven, gleichbleibenden Zinssatz von Jahr zu Jahr stärker. Auf dieser Seite lernst du, den Zinseszinseffekt zu erklären, End- und Anfangskapital zu berechnen und ihn von einer Verzinsung ohne Wiederanlage zu unterscheiden.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir vor, du legst 2.500\,€ zu einem jährlichen Zinssatz von 5\,\% an. Die Zinsen bleiben auf dem Konto. Im ersten Jahr erhältst du: 2.500\,€ \cdot 0{,}05 = 125\,€ Danach liegen 2.625\,€ auf dem Konto. Im zweiten Jahr werden nicht mehr nur die ursprünglichen 2.500\,€ verzinst, sondern die gesamten 2.625\,€: 2.625\,€ \cdot 0{,}05 = 131{,}25\,€ Nach zwei Jahren besitzt du daher: 2.625\,€ + 131{,}25\,€ = 2.756{,}25\,€
Definition
Zinseszins
Zinseszins entsteht, wenn gutgeschriebene Zinsen im Kapital bleiben und in späteren Zeiträumen selbst Zinsen bringen.
Merke: Ohne Wiederanlage bleibt der jährliche Zinsbetrag gleich. Mit Wiederanlage wächst die verzinste Grundlage und damit auch der Zinsbetrag.
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Für einen konstanten jährlichen Zinssatz verwendest du den Zinsfaktor q: q = 1 + \frac{p}{100} Dabei ist p der Zinssatz als Zahl ohne Prozentzeichen. Bei 3\,\% gilt also: q = 1 + \frac{3}{100} = 1{,}03 Das Endkapital nach n Jahren berechnest du mit: K_n = K_0 \cdot q^n Das bedeuten die Zeichen: K_0: Anfangskapital. K_n: Endkapital nach n Jahren. p: jährlicher Zinssatz in Prozent. q: Zinsfaktor. n: Anzahl der Jahre. Die Potenz q^n zeigt, dass das Kapital in jedem Jahr erneut mit demselben Faktor multipliziert wird. Die Formel passt nur, wenn der Zinssatz während der ganzen Laufzeit gleich bleibt, die Zinsen jährlich gutgeschrieben und wiederangelegt werden und es keine zusätzlichen Ein- oder Auszahlungen gibt. Ändern sich Zinssatz oder Kapital zwischendurch, rechnest du die Jahre einzeln: Nach jedem Jahr bestimmst du das neue Kapital und berücksichtigst dann die Änderung. Alle Ergebnisse sind Modellwerte. Gebühren, Steuern oder wechselnde Zinssätze können echte Beträge verändern.
Beispiel: 3.000 € fünf Jahre lang zu 3 % verzinsen
- 1Zuerst bestimmst du den Zinsfaktor:
- 2q = 1 + \frac{3}{100} = 1{,}03
- 3Dann setzt du die Werte in die Formel ein:
- 4K_5 = 3.000\,€ \cdot 1{,}03^5
- 5K_5 = 3.000\,€ \cdot 1{,}159274\ldots
- 6K_5 \approx 3.477{,}82\,€
- 7Nach fünf Jahren beträgt das Endkapital rund 3.477{,}82\,€. Der gesamte Zinsgewinn ist:
- 83.477{,}82\,€ - 3.000\,€ = 477{,}82\,€
Beispiel: Einzahlung zu Beginn des fünften Jahres
- 1Nach vier Jahren liegen 21.961{,}50\,€ auf dem Konto. Dazu kommen 5.000\,€, der Zinssatz beträgt 10\,\%.
- 2Zuerst addierst du die Einzahlung:
- 321.961{,}50\,€ + 5.000\,€ = 26.961{,}50\,€
- 4Erst danach berechnest du die Zinsen des fünften Jahres:
- 526.961{,}50\,€ \cdot 1{,}10 = 29.657{,}65\,€
- 6Die Einzahlung wird mitverzinst, weil sie zu Beginn des Jahres erfolgt.
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Bei einer Verzinsung ohne Wiederanlage werden die Zinsen ausgezahlt. Deshalb werden sie im nächsten Jahr nicht mitverzinst. Bei der Verzinsung mit Wiederanlage bleiben sie im Kapital. Vergleiche 10.000\,€ bei 5\,\% über drei Jahre. Die Tabelle zeigt den gesamten Betrag aus Anlagekapital und bisher ausgezahlten oder wiederangelegten Zinsen. Ohne Wiederanlage bleiben die ausgezahlten Zinsen außerhalb des Anlagekontos. Ohne Wiederanlage entstehen jedes Jahr 500\,€ Zinsen. Mit Wiederanlage wächst der jährliche Zinsbetrag von 500\,€ über 525\,€ auf 551{,}25\,€. Nach drei Jahren beträgt der Unterschied: 11.576{,}25\,€ - 11.500\,€ = 76{,}25\,€
| Jahr | Ohne Wiederanlage | Mit Wiederanlage |
|---|---|---|
| Start | 10.000\,€ | 10.000\,€ |
| 1 | 10.500\,€ | 10.500\,€ |
| 2 | 11.000\,€ | 11.025\,€ |
| 3 | 11.500\,€ | 11.576{,}25\,€ |
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Manchmal kennst du das gewünschte Endkapital und möchtest wissen, wie viel Geld du zu Beginn anlegen musst. Dann stellst du die Grundformel nach K_0 um: K_0 = \frac{K_n}{q^n} Du teilst also das Endkapital durch den Wachstumsfaktor der gesamten Laufzeit.
Beispiel: Anfangskapital für 10.000 € nach sieben Jahren bei 2,5 %
- 1Der Zinsfaktor ist:
- 2q = 1 + \frac{2{,}5}{100} = 1{,}025
- 3Nun setzt du ein:
- 4K_0 = \frac{10.000\,€}{1{,}025^7}
- 5K_0 \approx 8.412{,}65\,€
- 6Du musst also ungefähr 8.412{,}65\,€ anlegen. Zur Kontrolle setzt du dieses Anfangskapital wieder in die Formel für das Endkapital ein.
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Alles auf einen Blick
Zinseszins
Ursache
Zinsen bleiben im Kapital, die verzinste Grundlage wächst
Zinsfaktor
q=1+\frac{p}{100}
Endkapital
K_n=K_0q^n
Rückwärtsrechnung
K_0=\frac{K_n}{q^n}
Vergleich
Wiederanlage erzeugt zusätzliche Zinsen
Grenze
Änderungen erfordern eine jahrweise Rechnung
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
5.000 € drei Jahre lang zu 2 % mit Zinseszins
- 1Zinsfaktor: q = 1 + \frac{2}{100} = 1{,}02
- 2K_3 = 5.000\,€ \cdot 1{,}02^3
- 3K_3 = 5.000\,€ \cdot 1{,}061208 = 5.306{,}04\,€
- 4Zinsgewinn: 5.306{,}04\,€ - 5.000\,€ = 306{,}04\,€
- 5Ohne Wiederanlage wären es nur 3 · 100 € = 300 € Zinsen.
Fehler finden
1.200 € drei Jahre lang zu 5 % verzinsen In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Der Zinsfaktor wird dreimal multipliziert, nicht mit 3 malgenommen: K_3 = 1.200\,€ \cdot 1{,}05^3 = 1.389{,}15\,€.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei 3\,\% Jahreszins ist der Zinsfaktor . Für fünf Jahre steht der Faktor in der Potenz . Das Endkapital erhältst du durch von Anfangskapital und Faktorpotenz.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
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