Zehnerpotenzen einfach erklärt und anwenden

Eine Zehnerpotenz hat die Form 10^n. Die Basis ist 10. Der Exponent n zeigt, wie oft die 10 als Faktor vorkommt. Bei einem positiven Exponenten wird die 10 wiederholt mit sich selbst multipliziert: 10^4=10\cdot10\cdot10\cdot10=10\,000 Der Exponent 0 bildet die Mitte: 10^0=1 Bei einem negativen Exponenten entsteht der Kehrwert der entsprechenden positiven Potenz: 10^{-3}=\frac{1}{10^3}=\frac{1}{1\,000}=0{,}001 Jeder Schritt nach rechts in der Folge teilt den Wert durch 10: 10^2=100,\quad 10^1=10,\quad 10^0=1,\quad 10^{-1}=0{,}1,\quad 10^{-2}=0{,}01

Bei a\cdot10^n verschiebst du das Dezimalkomma des Faktors a: Ist n positiv, verschiebst du es um n Stellen nach rechts. Ist n negativ, verschiebst du es um den Betrag von n nach links. Fehlende Stellen füllst du mit Nullen. Achte darauf, von der vorhandenen Kommaposition aus zu zählen. Der Exponent gibt nicht einfach die Anzahl aller sichtbaren Nullen an. In der wissenschaftlichen Schreibweise steht eine Zahl als a\cdot10^n mit 1\leq a<10. Vor dem Komma steht also genau eine Ziffer von 1 bis 9. Zum Umwandeln verschiebst du das Komma, bis der Faktor zwischen 1 und 10 liegt, und zählst die verschobenen Stellen. Bei einer großen Ausgangszahl ist der Exponent positiv, bei einer Zahl zwischen 0 und 1 negativ. Verschiedene Potenzprodukte können denselben Wert haben: 25\cdot10^5=2{,}5\cdot10^6=0{,}25\cdot10^7 Nur 2{,}5\cdot10^6 ist wissenschaftlich normalisiert, weil der Faktor mindestens 1 und kleiner als 10 ist.

Beim Multiplizieren gleicher Basen addierst du die Exponenten. Beim Dividieren subtrahierst du sie: 10^m\cdot10^n=10^{m+n} \frac{10^m}{10^n}=10^{m-n} Beim Addieren und Subtrahieren darfst du die Faktoren nur direkt zusammenfassen, wenn die Exponenten gleich sind: a\cdot10^n+b\cdot10^n=(a+b)\cdot10^n Bei Multiplikation und Division rechnest du also mit den Exponenten, bei Addition und Subtraktion stellst du zuerst gleiche Exponenten her. Zum Vergleichen positiver Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise schaust du zuerst auf die Exponenten: Der größere Exponent gehört zur größeren Zahl. Sind die Exponenten gleich, entscheiden die Faktoren. Drei Exponentenstufen Unterschied bedeuten den Faktor 10^3=1\,000: 4{,}5\cdot10^6 ist tausendmal so groß wie 4{,}5\cdot10^3.

Präfixe vor Einheiten ersetzen häufig verwendete Zehnerpotenzen. So ist ein Kilometer das Tausendfache eines Meters, während ein Millimeter ein Tausendstel eines Meters ist. Groß- und Kleinschreibung sind wichtig: \mathrm M steht für Mega, \mathrm m als Präfix für Milli.