Gleichungen durch Substitution lösen

Betrachte die Gleichung x^4-6x^2+8=0. Die Unbekannte kommt nur als x^4 und x^2 vor. Weil x^4=(x^2)^2 gilt, kannst du den wiederkehrenden Term x^2 ersetzen. Dann wird aus x^4 der Term z^2 und aus x^2 der Term z: x^4-6x^2+8=0 \quad\longrightarrow\quad z^2-6z+8=0. Die neue Gleichung ist quadratisch und lässt sich mit einem bekannten Verfahren lösen.

Erkennen: Suche einen Term, der mehrfach als Potenz vorkommt. Substituieren: Setze zum Beispiel z=x^2 und schreibe die Gleichung vollständig in z um. Lösen: Löse die einfachere Gleichung und bestimme alle möglichen z-Werte. Rücksubstituieren: Ersetze z wieder durch x^2 und löse jede entstehende Gleichung nach x. Die z-Werte sind nur Zwischenergebnisse. Erst nach der Rücksubstitution erhältst du die Lösungen der ursprünglichen Gleichung. Bei z=x^2 musst du außerdem beachten: Für z>0 entstehen zwei reelle Werte, nämlich x=\pm\sqrt z. Für z=0 entsteht nur x=0. Ein negativer z-Wert liefert keine reelle Lösung, weil ein Quadrat nicht negativ sein kann. Im Beispiel unten sind beide z-Werte positiv. Deshalb liefert jeder zwei x-Werte, und die Gleichung hat vier Lösungen.

Nicht zu früh aufhören: z_1=2 und z_2=4 sind noch nicht die gesuchten x-Lösungen. Schreibe nach der Ersatzgleichung immer ausdrücklich x^2=z auf. Das Plus-minus mitnehmen: Aus x^2=4 folgt nicht nur x=2, sondern x=-2 oder x=2. Beide Zahlen haben das Quadrat 4. Vollständig substituieren: In der Ersatzgleichung darf kein x mehr stehen. z^2-6x^2+8=0 ist noch nicht fertig. Mit der Ausgangsgleichung prüfen: Setze die gefundenen Zahlen in die ursprüngliche Gleichung ein.