Mathematik · Klasse 9 · aktualisiert
Goldener Schnitt: Verhältnis berechnen und prüfen
Ein Verhältnis, das sich im Teil und im Ganzen wiederholt: Du lernst, goldene Teilungen zu berechnen, zu prüfen und Behauptungen kritisch zu sehen.
0 von 13 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Beim Goldenen Schnitt wird eine Strecke so in einen längeren Teil a und einen kürzeren Teil b geteilt, dass \frac{a}{b} = \frac{a + b}{a} gilt. Dieses Verhältnis ist die Goldene Zahl \Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618. Der längere Teil ist also etwa 61,8 % der ganzen Strecke.
Beim Goldenen Schnitt wird eine Strecke so geteilt, dass sich der längere Teil zum kürzeren genauso verhält wie die ganze Strecke zum längeren Teil. Dieses Verhältnis heißt \Phi (Phi) und beträgt ungefähr 1{,}618.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine Strecke besteht aus dem längeren Teil a und dem kürzeren Teil b, dabei gilt a > b > 0. Der gemeinsame Wert der beiden Quotienten heißt Goldene Zahl: \Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618 Der längere Teil umfasst ungefähr 61,8 % der ganzen Strecke, der kürzere ungefähr 38,2 %. Die Teile sind also nicht gleich groß. Das Besondere ist, dass sich dasselbe Verhältnis wiederholt.
Definition
Goldener Schnitt
Eine Teilung ist golden, wenn \frac{a}{b} = \frac{a + b}{a} gilt. Links steht längerer Teil : kürzerer Teil, rechts ganze Strecke : längerer Teil. Beide Quotienten müssen gleich sein.
Merke: Zwei ungleiche Teile sind noch kein Goldener Schnitt. Entscheidend ist, dass beide Quotienten gleich sind.
Teste dich
Setze x = \frac{a}{b}. Aus der Definition folgt x = 1 + \frac{1}{x} und nach Multiplikation mit x die quadratische Gleichung x^2 - x - 1 = 0. Sie hat zwei Lösungen. Ein Längenverhältnis muss positiv sein, also bleibt nur x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \Phi. Außerdem gelten \Phi^2 = \Phi + 1 und \frac{1}{\Phi} = \Phi - 1 \approx 0{,}618. Für eine ganze Strecke L rechnest du deshalb direkt: a = \frac{L}{\Phi} \approx 0{,}618 \cdot L, \qquad b = \frac{L}{\Phi^2} \approx 0{,}382 \cdot L
Beispiel: Eine 10 cm lange Strecke golden teilen
- 1Längerer Teil: 10 cm : 1,618 ≈ 6,18 cm
- 2Kürzerer Teil: 10 cm − 6,18 cm = 3,82 cm
- 3Kontrolle: 6,18 : 3,82 ≈ 1,618 und 10 : 6,18 ≈ 1,618
- 4Der Teilungspunkt liegt etwa 6,18 cm von einem Ende entfernt.
Teste dich
Ein goldenes Rechteck hat das Seitenverhältnis lange Seite : kurze Seite = \Phi. Schneidest du ein Quadrat ab, bleibt ein kleineres Rechteck mit demselben Seitenverhältnis. Die beiden Rechtecke sind ähnlich: gleiche Form, andere Größe. Auch im regelmäßigen Fünfeck gilt genau Diagonale : Seite = \Phi. In der Fibonacci-Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … ist jede Zahl ab dem dritten Glied die Summe ihrer beiden Vorgänger. Die Quotienten aufeinanderfolgender Zahlen nähern sich \Phi. Sie springen dabei abwechselnd über und unter \Phi und werden mit größeren Zahlen genauer. Gleich \Phi werden sie aber nie, denn \Phi ist irrational.
Beispiel: Ein goldenes Rechteck mit der kurzen Seite b und der langen Seite a = \Phi \cdot b
- 1Quadrat mit der Seite b abschneiden: Das Restrechteck hat die Seiten b und a - b.
- 2Wegen \Phi - 1 = \frac{1}{\Phi} gilt a - b = (\Phi - 1) \cdot b = \frac{b}{\Phi}.
- 3Also \frac{b}{a - b} = \Phi: Das Restrechteck ist wieder golden.
| Fibonacci-Quotient | Wert | Lage zu Φ ≈ 1,618 |
|---|---|---|
| \frac{5}{3} | ≈ 1,667 | darüber |
| \frac{21}{13} | ≈ 1,615 | darunter |
| \frac{34}{21} | ≈ 1,619 | darüber |
Teste dich
Der Goldene Schnitt steckt in exakten mathematischen Beziehungen, zum Beispiel im regelmäßigen Fünfeck. Bei manchen Pflanzen liegt der Winkel zwischen aufeinanderfolgenden Blättern ungefähr beim Goldenen Winkel von 137,5°. Das gilt aber nicht für alle Pflanzen. Bei Kunstwerken, Gebäuden, Körpermaßen oder Logos ist Vorsicht nötig. Ein gemessener Wert nahe 1,618 beweist weder eine bewusste Planung noch besondere Schönheit. Messpunkte lassen sich verschieden wählen, und passende Beispiele werden oft nachträglich ausgesucht. Auch die bekannte Kurve aus Viertelkreisen in immer kleineren Quadraten ist nur eine Näherung der mathematischen Goldenen Spirale.
Merke: Trenne drei Aussagen: exakt bewiesen, näherungsweise gemessen und bewusst verwendet. Aus einer Näherung folgt nicht automatisch eine Absicht.
Beispiel: An einem Bild misst du zwei Längen und erhältst den Quotienten 1,62.
- 1Gerechtfertigt: Die gemessenen Längen liegen nahe am Goldenen Verhältnis.
- 2Nicht gerechtfertigt: Das Bild wurde absichtlich nach dem Goldenen Schnitt gestaltet.
- 3Für eine Absicht brauchst du weitere Belege, etwa Entwürfe oder Aussagen des Künstlers.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Goldener Schnitt
Definition
gleiches Verhältnis in Teil und Ganzem, \frac{a}{b} = \frac{a + b}{a}
Zahl
\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618
Streckenteilung
etwa 61,8 % und 38,2 %
Geometrie
goldenes Rechteck und regelmäßiges Fünfeck
Fibonacci
Quotienten aufeinanderfolgender Zahlen nähern sich Phi
Prüfung
exakt, näherungsweise und beabsichtigt unterscheiden
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Ein 80 cm langes Regalbrett soll im Goldenen Schnitt geteilt werden
- 1Längerer Teil: 80 cm : 1,618 ≈ 49,44 cm
- 2Kürzerer Teil: 80 cm − 49,44 cm = 30,56 cm
- 3Kontrolle 1: 49,44 : 30,56 ≈ 1,618
- 4Kontrolle 2: 80 : 49,44 ≈ 1,618
- 5Die Trennlinie liegt etwa 49,4 cm von einem Ende entfernt.
Fehler finden
Sind 13 cm und 8 cm eine goldene Teilung? In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Hier wurde durch den kürzeren Teil 8 geteilt. Richtig ist 21 : 13 ≈ 1,615. Beide Quotienten liegen nahe bei 1,618, die Teilung ist also nahezu golden.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Beim Goldenen Schnitt ist längerer Teil : kürzerer Teil gleich . Die Goldene Zahl beträgt ungefähr . Quotienten aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen sind .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback