Zahlenmengen: N, Z, Q, R und C verstehen

Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen, mit denen du zählst: \mathbb N=\{1,2,3,4,\ldots\} Ob die 0 zu den natürlichen Zahlen gezählt wird, hängt von der verwendeten Konvention ab. Auf dieser Seite unterscheiden wir eindeutig: \mathbb N_0=\{0,1,2,3,4,\ldots\} Die ganzen Zahlen umfassen zusätzlich die negativen Gegenzahlen: \mathbb Z=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\} Die Auslassungspunkte bedeuten, dass die Aufzählung unbegrenzt weitergeht. Unendlich ist dabei keine Zahl, die als Element am Ende der Menge steht. Das Zeichen \subset bedeutet: Jedes Element der linken Menge liegt auch in der rechten Menge. Die wichtigsten Zahlenmengen bilden diese Kette: \mathbb N\subset\mathbb N_0\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R\subset\mathbb C Du liest sie von klein nach groß. Jede Erweiterung enthält alle Zahlen der vorherigen Menge und zusätzliche Zahlen.

Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die sich als Bruch ganzer Zahlen schreiben lassen: \mathbb Q=\left\{\frac pq\mid p,q\in\mathbb Z,\ q\ne0\right\} Zu \mathbb Q gehören Brüche, ganze Zahlen sowie endliche und periodische Dezimalzahlen. Nicht jede Zahl mit Nachkommastellen ist also irrational. Eine irrationale Zahl lässt sich nicht als Bruch aus zwei ganzen Zahlen darstellen. Ihre Dezimaldarstellung endet nicht und wiederholt sich nicht periodisch. Beispiele sind \sqrt2 und \pi. Rationale und irrationale Zahlen bilden gemeinsam die reellen Zahlen: \mathbb R=\{\text{rationale Zahlen}\}\cup\{\text{irrationale Zahlen}\}

Die reellen Zahlen umfassen alle rationalen und irrationalen Zahlen. Sie lassen sich auf der Zahlengeraden darstellen. Für bestimmte Rechnungen reichen reelle Zahlen nicht aus. So ist die Quadratwurzel einer negativen Zahl innerhalb von \mathbb R nicht definiert. Dafür werden die komplexen Zahlen verwendet. Bei z=a+bi heißt a Realteil und b Imaginärteil. Ist b=0, entspricht die komplexe Zahl einer reellen Zahl. Deshalb ist jede reelle Zahl zugleich komplex.

Wenn du die kleinste passende Zahlenmenge suchst, prüfst du die Fragen der Tabelle von oben nach unten. Die erste Frage, die du mit „ja“ beantwortest, liefert die kleinste Menge. Vereinfache die Zahl vorher, wenn es geht: Ein Bruch kann zum Beispiel eine ganze Zahl sein. Wegen der Verschachtelung gehört die Zahl dann auch zu allen größeren Mengen der Kette.