Mathematik · Klasse 7–8 · aktualisiert
Wertemenge bestimmen: Graphen und Parabeln
Du lernst, welche Werte eine Funktion annehmen kann, wie du die Wertemenge am Graphen und an der Scheitelpunktform abliest und richtig notierst.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die Wertemenge W enthält alle Werte, die eine Funktion tatsächlich als Ergebnis f(x) annimmt. Bei f(x)=x^2 ist das W=[0;∞[, weil Quadrate nie negativ sind. Bei einer Parabel liest du die Grenze am Scheitelwert ab: Nach oben geöffnet ist er der kleinste, nach unten geöffnet der größte Wert.
Die Wertemenge enthält alle Werte, die eine Funktion tatsächlich als Ergebnis annehmen kann. Du untersuchst also nicht, welche Zahlen du für x einsetzen darfst, sondern welche Zahlen dabei für y=f(x) herauskommen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Eine Funktion ordnet jedem zulässigen Eingabewert x genau einen Funktionswert f(x) zu. Die zulässigen Eingaben bilden die Definitionsmenge. Alle tatsächlich entstehenden Ausgaben bilden die Wertemenge oder den Wertebereich.
Definition
Wertemenge
Die Wertemenge W ist die Menge aller Werte f(x), die entstehen, wenn du sämtliche zulässigen x-Werte aus der Definitionsmenge berücksichtigst. Ein einzelnes Ergebnis ist nur ein Element dieser Menge.
Beispiel: Wertemenge von f(x)=3x
- 1f(2)=3\cdot2=6, also ist 6 ein Element von W
- 2Jedes y entsteht aus x=y:3, zum Beispiel y=-4 aus x=-\frac{4}{3}
- 3Also ist W=ℝ
Merke: Definitionsmenge: Was darf für x eingesetzt werden? Wertemenge: Was kann als f(x) herauskommen?
Teste dich
Im Koordinatensystem zeigt die waagerechte Achse die x-Werte und die senkrechte Achse die y-Werte. Für die Wertemenge betrachtest du deshalb die Höhen, die der Graph erreicht. Gehe in drei Schritten vor: Wandere gedanklich von unten nach oben entlang der y-Achse. Prüfe bei jeder Höhe, ob der Graph dort mindestens einen Punkt besitzt. Untersuche an Grenzen, ob der Randwert wirklich angenommen oder nur angenähert wird. Ein Tiefpunkt liefert einen kleinsten Funktionswert, ein Hochpunkt einen größten. Eine Asymptote kann auf einen Wert hinweisen, den der Graph nur annähert. Entscheidend bleibt immer: Berührt oder erreicht der Graph diese Höhe tatsächlich?
Beispiel: Tiefpunkt bei der Höhe -2
- 1Graph erreicht -2 und jede größere Höhe: W=[-2;∞[
- 2Graph nähert sich -2 nur an: W=]-2;∞[
Teste dich
Eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform lautet f(x)=a\cdot(x-d)^2+e. Ihr Scheitelpunkt hat den y-Wert e. Weil ein Quadrat nie negativ ist, entscheidet das Vorzeichen von a, ob e der kleinste oder der größte Funktionswert ist. Für a>0 ist die Parabel nach oben geöffnet. Dann gilt W=[e;∞[. Für a<0 ist die Parabel nach unten geöffnet. Dann gilt W=]-∞;e]. Der Randwert e gehört immer dazu, weil die Funktion ihn bei x=d tatsächlich annimmt. Steht der Term noch nicht in Scheitelpunktform, ergänzt du ihn quadratisch.
Beispiel: Wertemenge von g(x)=-\frac{1}{2}(x-4)^2+6
- 1a=-\frac{1}{2}<0: Parabel nach unten geöffnet
- 2Scheitelwert e=6 ist der größte Funktionswert
- 3W=]-∞;6]
Beispiel: Wertemenge von f(x)=x^2-6x
- 1Quadratisch ergänzen: x^2-6x=(x-3)^2-9
- 2a=1>0: Parabel nach oben geöffnet
- 3Scheitelwert -9, erreicht bei x=3
- 4W=[-9;∞[
Merke: Bei a(x-d)^2+e verrät das Vorzeichen von a die Richtung. Der Scheitelwert e ist die eingeschlossene Grenze der Wertemenge.
Teste dich
Mit einer geschlossenen Klammer zeigst du: Der Randwert gehört zur Menge. Eine offene Klammer schließt ihn aus. ∞ und -∞ sind keine erreichbaren Zahlen und stehen deshalb immer an einer offenen Seite. Unterscheide die Wertemenge auch von der Zielmenge: Für f(x)=x^2 kann die Zielmenge ℝ sein. Die tatsächliche Wertemenge ist jedoch [0;∞[, denn Quadrate sind nie negativ und jeder nichtnegative Wert kann als Quadrat entstehen.
| Schreibweise | Bedeutung |
|---|---|
| [-5;6] | alle Werte von -5 bis 6, beide eingeschlossen |
| [2;9[ | 2 eingeschlossen, 9 ausgeschlossen |
| ]5;∞[ | alle Werte größer als 5 |
| ℝ\setminus\{0\} | alle reellen Zahlen außer 0 |
| \{1;2;3;4\} | genau die vier genannten Werte |
Definition
Zielmenge
Die Zielmenge gibt an, in welcher übergeordneten Menge die Ausgaben liegen sollen. Sie enthält die tatsächliche Wertemenge, kann aber zusätzliche Werte umfassen, die die Funktion nie annimmt.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Wertemenge
Bedeutung
alle Funktionswerte, die tatsächlich herauskommen
Abgrenzung
Definitionsmenge sind die Eingaben, Wertemenge die Ausgaben
Graph
die erreichten Höhen auf der y-Achse ablesen
Parabel
Öffnung aus a, die Grenze ist der Scheitelwert e
Notation
Intervall mit Klammern, bei ∞ immer offen
Zielmenge
kann größer sein als die Wertemenge
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Wertemenge von f(x)=-x^2-6x-4
- 1f(x)=-x^2-6x-4
- 2f(x)=-(x^2+6x+9)+9-4
- 3f(x)=-(x+3)^2+5
- 4a=-1<0: nach unten geöffnet, größter Wert 5 bei x=-3
- 5W=]-∞;5]
Fehler finden
Wertemenge von f(x)=(x-2)^2+3 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 4Der kleinste Funktionswert ist der y-Wert des Scheitels, nicht der x-Wert. Richtig ist f(2)=3, also W=[3;∞[.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Bei f(x)=x^2 ist die Definitionsmenge , die tatsächliche Wertemenge und der kleinste Funktionswert .
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback