Mathematik · Klasse 9 · aktualisiert
Diskriminante berechnen und Lösungen erkennen
Die Diskriminante D = b² − 4ac verrät, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat. Du lernst, sie sicher zu berechnen und zu deuten.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung ax^2 + bx + c = 0 ist D = b^2 - 4ac. Ist D > 0, gibt es zwei reelle Lösungen, bei D = 0 genau eine, bei D < 0 keine. Beispiel: Für x^2 - 3x + 2 = 0 ist D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 > 0, also gibt es zwei Lösungen.
Bevor du eine quadratische Gleichung lange durchrechnest, willst du vielleicht wissen: Gibt es überhaupt eine Lösung? Die Diskriminante D = b^2 - 4ac sagt es dir mit einer kurzen Rechnung. Ihr Vorzeichen zeigt, ob die Gleichung zwei, eine oder keine reelle Lösung hat. Hier lernst du, die Koeffizienten richtig einzusetzen, D zu deuten und deine Vorhersage mit der Lösungsformel zu prüfen.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Bringe die Gleichung zuerst in die Form ax^2 + bx + c = 0 mit a \neq 0. Dann liest du die Koeffizienten ab: a steht vor x^2, b steht vor x, und c ist die Zahl ohne x. Die Rechenzeichen gehören zu den Koeffizienten dazu. Setze negative Koeffizienten mit Klammern ein.
Definition
Diskriminante
Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung ax^2 + bx + c = 0 ist D = b^2 - 4ac. Sie heißt so, weil ihr Wert die verschiedenen Lösungsfälle unterscheidet.
Beispiel: D für x^2 - 3x + 2 = 0
- 1Koeffizienten: a = 1, b = -3, c = 2
- 2D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2
- 3D = 9 - 8 = 1
- 4Wichtig ist die Klammer um -3: (-3)^2 = 9.
Teste dich
Für reelle Koeffizienten gibt es drei Fälle. Bei D = 0 spricht man von einer doppelten Nullstelle. Sie steht nur einmal in der Lösungsmenge. Bei D < 0 heißt „keine Lösung“ genauer: keine Lösung in den reellen Zahlen. In den komplexen Zahlen gibt es dann zwei nichtreelle Lösungen, die zueinander konjugiert sind. Diese einfache Zuordnung gilt so nur für quadratische Gleichungen.
| Wert von D | Reelle Lösungen | Warum? |
|---|---|---|
| D > 0 | zwei | Plus und Minus vor der Wurzel liefern zwei verschiedene Werte. |
| D = 0 | eine | Wegen \sqrt{0} = 0 fallen beide Ergebnisse zusammen. |
| D < 0 | keine | Eine negative Zahl hat keine reelle Quadratwurzel. |
Merke: Positiv: zwei reelle Lösungen. Null: eine doppelte Nullstelle. Negativ: keine reelle Lösung.
Teste dich
Die Lösungsformel lautet x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. Die Diskriminante steht also unter der Wurzel. Berechne sie zuerst. Dann weißt du schon, wie viele reelle Ergebnisse du erwarten musst. Passt die Zahl deiner Lösungen nicht zur Vorhersage, hast du dich irgendwo verrechnet.
Beispiel: x^2 - 3x + 2 = 0 lösen
- 1a = 1, b = -3, c = 2
- 2D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 > 0: zwei Lösungen erwartet
- 3x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 1}{2}
- 4x_1 = 2 und x_2 = 1, also L = \{1; 2\}
Beispiel: Doppelte Nullstelle: x^2 + 4x + 4 = 0
- 1D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0
- 2x = \frac{-4 \pm 0}{2} = -2
- 3L = \{-2\}: -2 ist eine doppelte Nullstelle.
Teste dich
Diese Fehler passieren besonders oft. Die Gleichung steht noch nicht auf null: Erst in der Form ax^2 + bx + c = 0 kannst du a, b und c sicher ablesen. Ein negatives b wird ohne Klammer quadriert: Schreibe (-3)^2 = 9, nicht -3^2. Das Minus in b^2 - 4ac geht verloren: Berechne zuerst b^2 und 4ac, dann die Differenz. Ist c negativ, wird -4ac bei positivem a sogar positiv. D < 0 heißt nicht „überhaupt keine Lösung“, sondern keine reelle Lösung. Und bei D = 0 zählst du die doppelte Nullstelle nur einmal.
Beispiel: Erst auf null bringen: x^2 = 4x - 5
- 1Alles nach links: x^2 - 4x + 5 = 0
- 2a = 1, b = -4, c = 5
- 3D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4
- 4D < 0: keine reelle Lösung
Teste dich
Alles auf einen Blick
Diskriminante
Vorbereiten
Gleichung auf null bringen, a, b und c mit Vorzeichen ablesen
Formel
D = b^2 - 4ac, negative Werte in Klammern einsetzen
Positiv
zwei reelle Lösungen
Null
eine doppelte Nullstelle
Negativ
keine reelle Lösung
Kontrolle
Lösungsformel anwenden und die Anzahl mit der Vorhersage vergleichen
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Wie viele Lösungen hat 3x^2 - 2x - 1 = 0?
- 1a = 3, b = -2, c = -1
- 2D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16
- 3D > 0: zwei reelle Lösungen
- 4x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{2 \pm 4}{6}
- 5x_1 = \frac{6}{6} = 1 und x_2 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}
Fehler finden
Diskriminante von x^2 - 4x + 3 = 0 In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 3Das Quadrat einer negativen Zahl ist positiv: (-4)^2 = 16. Richtig ist D = 16 - 12 = 4 > 0. Es gibt zwei Lösungen, nämlich x = 1 und x = 3.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Die Diskriminante lautet D = b^2 - 4ac. Ist D positiv, hat die Gleichung reelle Lösungen. Ist D = 0, gibt es eine Nullstelle. Ist D negativ, hat die Gleichung in den reellen Zahlen Lösungen.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback