Mathematik · Klasse 8–10 · aktualisiert
Mantelfläche berechnen: Formeln und Beispiele
Die Mantelfläche ist die Seitenfläche eines Körpers. Du lernst, sie bei Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel und Kegelstumpf zu berechnen.
0 von 10 Aufgaben gelöst
Kurz gesagt
Die Mantelfläche M ist der Flächeninhalt der Seitenflächen eines Körpers, ohne Grund- und Deckfläche. Beim geraden Prisma gilt M=U_G\cdot h, beim Zylinder M=2\pi r h, beim Kegel M=\pi r s. Bei einer Pyramide addierst du die Flächen der Seitendreiecke.
Die Mantelfläche ist die seitliche Fläche eines Körpers. Grund- und Deckflächen gehören nicht dazu. Bei einem Kegel oder einer Pyramide wird nur die Grundfläche ausgeschlossen, weil es keine Deckfläche gibt. Auf dieser Seite lernst du, den Mantel in einem Körpernetz zu erkennen, passende Formeln auszuwählen und Ergebnisse mit Flächeneinheiten anzugeben.
Deine Lernziele
Hake ab, was du schon kannst. Löst du alle Aufgaben eines Abschnitts, hakt Mela das Ziel für dich ab.
4 Abschnitte
Stell dir vor, du entfernst bei einer Konservendose Boden und Deckel. Die übrig gebliebene Seitenwand ist der Mantel. Ihr Flächeninhalt heißt Mantelfläche und wird meist mit M bezeichnet. Beim Abwickeln entsteht ein Körpernetz. Darin kannst du die Teile leichter unterscheiden: Beim Prisma bilden Rechtecke oder Parallelogramme den Mantel. Beim geraden Zylinder wird der Mantel zu einem Rechteck. Bei der Pyramide besteht der Mantel aus Dreiecken. Beim Kegel ist der abgewickelte Mantel ein Kreissektor.
Definition
Mantelfläche
Die Mantelfläche ist der Flächeninhalt aller seitlichen Flächen eines Körpers. Grund- und gegebenenfalls Deckfläche werden nicht mitgerechnet.
Merke: Die Mantelfläche ist nicht dasselbe wie die gesamte Oberfläche. Für Prisma und Zylinder gilt O=2G+M, weil sie eine Grund- und eine Deckfläche besitzen. Für Pyramide und Kegel gilt O=G+M.
Teste dich
Bei einem geraden Prisma stehen die Seitenkanten senkrecht auf der Grundfläche. Wickelst du seinen Mantel ab, liegen die Seitenflächen nebeneinander. Ihre gesamte Breite entspricht dem Umfang U_G der Grundfläche. Ihre Höhe ist die Prismenhöhe h. Deshalb gilt: M=U_G\cdot h Schneidest du den Mantel eines geraden Zylinders entlang einer geraden Linie auf und rollst ihn ab, entsteht ein Rechteck: Seine Länge ist der Kreisumfang U=2\pi r. Seine Breite ist die Zylinderhöhe h. Damit gilt: M=U\cdot h=2\pi r\cdot h Ist statt des Radius der Durchmesser d gegeben, halbiere ihn zuerst: r=\frac d2. Verwechsle außerdem die Höhe h nicht mit dem Radius.
Beispiel: Gerades Dreiecksprisma: Grundseiten 3\,\mathrm{cm}, 4\,\mathrm{cm} und 5\,\mathrm{cm}, Höhe 8\,\mathrm{cm}
- 1Umfang der Grundfläche: U_G=3\,\mathrm{cm}+4\,\mathrm{cm}+5\,\mathrm{cm}=12\,\mathrm{cm}
- 2Mantelfläche: M=12\,\mathrm{cm}\cdot8\,\mathrm{cm}=96\,\mathrm{cm^2}
- 3Die Einheit ist quadratisch, weil eine Fläche berechnet wurde.
Beispiel: Gerader Zylinder: Radius r=3\,\mathrm{cm}, Höhe h=5\,\mathrm{cm}
- 1Umfang des Grundkreises: U=2\pi\cdot3\,\mathrm{cm}=6\pi\,\mathrm{cm}
- 2Rechteck des abgewickelten Mantels: M=6\pi\,\mathrm{cm}\cdot5\,\mathrm{cm}=30\pi\,\mathrm{cm^2}
- 3Gerundet: 30\pi\,\mathrm{cm^2}\approx94{,}2\,\mathrm{cm^2}
Teste dich
Pyramide: Der Mantel einer Pyramide besteht aus ihren dreieckigen Seitenflächen. Du berechnest jede Dreiecksfläche und addierst die Ergebnisse. Bei einer regelmäßigen quadratischen Pyramide sind die vier Manteldreiecke gleich groß. Mit der Grundkante a und der Seitenhöhe s_a gilt: M=4\cdot\frac12a\cdot s_a=2a\cdot s_a Kegel: Beim geraden Kegel heißt die Strecke von der Spitze bis zum Rand des Grundkreises Mantellinie s. Der abgewickelte Mantel ist ein Kreissektor. Seine Fläche lautet: M=\pi r s Vertiefung Kegelstumpf: Ein Kegelstumpf entsteht, wenn ein Kegel parallel zur Grundfläche abgeschnitten wird. Er besitzt die Radien r_1 und r_2. Die Mantellinie zwischen den beiden Kreisrändern wird hier mit m bezeichnet. M=\pi(r_1+r_2)m
Beispiel: Quadratische Pyramide: a=6\,\mathrm{cm}, s_a=5\,\mathrm{cm}
- 1M=4\cdot\frac12\cdot6\,\mathrm{cm}\cdot5\,\mathrm{cm}=60\,\mathrm{cm^2}
- 2Setze die Seitenhöhe ein, nicht die Körperhöhe: Die Seitenhöhe liegt im Manteldreieck.
Beispiel: Kegel: r=4\,\mathrm{cm}, s=7\,\mathrm{cm}
- 1M=\pi\cdot4\,\mathrm{cm}\cdot7\,\mathrm{cm}=28\pi\,\mathrm{cm^2}\approx88{,}0\,\mathrm{cm^2}
Beispiel: Kegelstumpf: r_1=5\,\mathrm{cm}, r_2=3\,\mathrm{cm}, m=4\,\mathrm{cm}
- 1M=\pi\cdot(5+3)\cdot4\,\mathrm{cm^2}=32\pi\,\mathrm{cm^2}\approx100{,}5\,\mathrm{cm^2}
Teste dich
Gehe in vier Schritten vor: Entscheide, welche Flächen tatsächlich gesucht sind. Notiere die benötigten Maße in derselben Längeneinheit. Wähle die Formel für den passenden Körper. Prüfe Ergebnis, Flächeneinheit und Sachzusammenhang.
Beispiel: Eine offene Dose mit r=4\,\mathrm{cm} und h=10\,\mathrm{cm} wird nur an der Seitenwand beklebt.
- 1Gesucht ist nur die Mantelfläche. Kein Kreis wird dazugerechnet.
- 2M=2\pi r h=2\pi\cdot4\,\mathrm{cm}\cdot10\,\mathrm{cm}=80\pi\,\mathrm{cm^2}\approx251{,}3\,\mathrm{cm^2}
- 3Für Überlappung oder Verschnitt brauchst du in der Praxis etwas mehr Papier. Diese Zugabe gehört nicht zur Mantelfläche.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Mantelfläche
Definition
nur die Seitenflächen, ohne Grund- und Deckfläche
Prisma
Umfang der Grundfläche mal Höhe, M=U_G\cdot h
Zylinder
Kreisumfang mal Höhe, M=2\pi r h
Pyramide
alle Manteldreiecke berechnen und addieren
Kegel und Kegelstumpf
M=\pi r s und M=\pi(r_1+r_2)m
Einheit
das Ergebnis immer in einer Flächeneinheit wie cm²
Musteraufgabe · Schritt für Schritt
Eine Litfaßsäule ist 3\,\mathrm{m} hoch und hat den Durchmesser 1{,}2\,\mathrm{m}. Wie viel Fläche bietet sie für Plakate?
- 1Gesucht ist die Mantelfläche eines Zylinders.
- 2Radius: r=1{,}2\,\mathrm{m}:2=0{,}6\,\mathrm{m}
- 3M=2\pi\cdot0{,}6\,\mathrm{m}\cdot3\,\mathrm{m}=3{,}6\pi\,\mathrm{m^2}
- 43{,}6\pi\,\mathrm{m^2}\approx11{,}31\,\mathrm{m^2}
- 5Die Säule bietet rund 11{,}3\,\mathrm{m^2} Fläche für Plakate.
Fehler finden
Quadratische Pyramide: a=10\,\mathrm{cm}, Körperhöhe h=12\,\mathrm{cm}, Seitenhöhe s_a=13\,\mathrm{cm}. Berechne den Mantel. In einer Zeile steckt ein Fehler. Tippe sie an.
Fehler in Zeile 2Die Höhe des Manteldreiecks ist die Seitenhöhe s_a=13\,\mathrm{cm}, nicht die Körperhöhe. Richtig: \frac12\cdot10\,\mathrm{cm}\cdot13\,\mathrm{cm}=65\,\mathrm{cm^2}, also M=4\cdot65\,\mathrm{cm^2}=260\,\mathrm{cm^2}.
Lückentext
Wähl in jeder Lücke das passende Wort und prüf dann deine Antworten.
Zur Mantelfläche gehören Grund- und Deckfläche . Beim geraden Zylinder ist der abgewickelte Mantel ein . Beim Kegel gilt M=\pi r s, wobei s die ist.
Karteikasten
Erst selbst überlegen, dann umdrehen.
Übung mit Feedback