Wurzeln verstehen und sicher berechnen

Stell dir ein Quadrat mit der Fläche 25\,\text{cm}^2 vor. Welche Seitenlänge hat es? Gesucht ist die nichtnegative Zahl, deren Quadrat 25 ergibt: 5\,\text{cm}. Das Wurzelziehen macht das Quadrieren unter diesen Bedingungen rückgängig: \left(\sqrt{a}\right)^2=a Die kleine 2 wird bei der Quadratwurzel nicht geschrieben: \sqrt{a}=\sqrt[2]{a}. Entsprechend heißt \sqrt[3]{a} Kubikwurzel. Bei reellen Zahlen ist die Quadratwurzel aus einem negativen Radikanden nicht definiert. Außerdem gilt für jede reelle Zahl x: \sqrt{x^2}=|x| Der Betrag ist nötig, weil eine Quadratwurzel nie negativ ist. So ist \sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4, nicht -4.

Quadratzahlen helfen dir, eine Wurzel einzuordnen. Kennst du etwa 3^2=9 und 4^2=16, dann folgt sofort: 3<\sqrt{10}<4 Denn 10 liegt zwischen 9 und 16. Eine genauere Näherung erhältst du durch Probieren: 3{,}1^2=9{,}61 ist zu klein, 3{,}2^2=10{,}24 ist zu groß. Also liegt \sqrt{10} zwischen 3{,}1 und 3{,}2. Nicht jede Wurzel aus einer ganzen Zahl ist wieder ganzzahlig. Ist eine nichtnegative ganze Zahl keine passende Quadratzahl, dann ist ihre Quadratwurzel irrational. Irrational bedeutet: Die Zahl lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben. Beispiele sind \sqrt{2} und \sqrt{10}. Warum ist \sqrt{2} irrational? Angenommen, \sqrt{2}=a/b wäre ein vollständig gekürzter Bruch. Dann wäre a^2=2b^2. Also ist a^2 gerade und damit auch a. Schreibe a=2k. Dann folgt 4k^2=2b^2 und somit b^2=2k^2: Auch b wäre gerade. Dann hätten a und b doch den gemeinsamen Faktor 2. Das widerspricht der Annahme, der Bruch sei vollständig gekürzt.

Beim teilweisen Wurzelziehen zerlegst du den Radikanden so, dass ein Faktor eine Quadratzahl ist. Diesen Faktor kannst du vor die Wurzel ziehen. Gleichartige Wurzeln besitzen denselben Wurzelexponenten und denselben Radikanden. Nur solche Terme kannst du bei Addition und Subtraktion über ihre Koeffizienten zusammenfassen: 2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3} Dagegen ist \sqrt{2}+\sqrt{3} nicht gleich \sqrt{5}. Für Summen gibt es keine entsprechende Zusammenfassungsregel. Hinter dem teilweisen Wurzelziehen steckt die Produktregel: Für a\ge 0 und b\ge 0 gilt \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}, für b>0 auch \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}. Diese Regeln gelten auch für höhere Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten.

Wenn eine Quadratwurzel nicht genau aufgeht, kannst du sie mit dem Heron-Verfahren annähern. Für a>0 und einen positiven Startwert x_0 konvergieren die wiederholten Schritte gegen \sqrt{a}. Nach dem ersten Schritt liegen die Werte nicht unter der Wurzel und nähern sich ihr weiter an. Du wiederholst: x_{k+1}=\frac{1}{2}\left(x_k+\frac{a}{x_k}\right) Die beiden Zahlen in der Klammer gleichen sich gegenseitig aus: Ist x_k zu groß, dann ist a/x_k zu klein. Ihr Mittelwert liegt meist näher an der gesuchten Wurzel. Ein Abbruchkriterium legt fest, wann du aufhörst. Du kannst zum Beispiel stoppen, sobald sich zwei aufeinanderfolgende Werte um weniger als 0{,}001 unterscheiden. Das Kriterium beschreibt die gewünschte Genauigkeit; es ist keine Behauptung, dass der Näherungswert exakt ist.