Winkel verstehen: Arten, Messen und Winkelsätze

Stell dir zwei Lichtstrahlen vor, die am selben Punkt beginnen. Die beiden Strahlen begrenzen einen Winkelbereich. Der markierte Bereich ist wichtig: Zwischen denselben Schenkeln können sowohl der kleinere innere als auch der größere äußere Winkel gemeint sein. Winkel richtig benennen: Ein Winkel kann einen griechischen Kleinbuchstaben tragen, zum Beispiel \alpha (Alpha), \beta (Beta), \gamma (Gamma) oder \delta (Delta). Bei der Benennung mit drei Punkten steht der Scheitelpunkt immer in der Mitte. In \angle BAC ist deshalb A der Scheitelpunkt. Die Schenkel verlaufen von A nach B und von A nach C.

Winkel werden nach ihrer Größe eingeteilt. Die Einheit des Gradmaßes ist Grad mit dem Zeichen ^\circ. Ein voller Winkel hat 360^\circ. Später lernst du noch eine zweite Einheit kennen: Ein Winkel kann im Gradmaß oder im Bogenmaß angegeben werden. Das Bogenmaß beschreibt die Länge des zugehörigen Kreisbogens im Einheitskreis. Seine Einheit heißt Radiant, kurz \mathrm{rad}. Ein voller Winkel entspricht sowohl 360^\circ als auch 2\pi\,\mathrm{rad}. Daraus folgen die Umrechnungen 1^\circ=\frac{\pi}{180}\,\mathrm{rad} und 1\,\mathrm{rad}=\frac{180^\circ}{\pi}.

Ein Geodreieck besitzt einen Winkelmesser mit zwei gegenläufigen Skalen. Entscheidend ist, dass du am Schenkel mit 0^\circ beginnst. Einen Winkel messen: Lege den Mittelpunkt des Geodreiecks genau auf den Scheitelpunkt. Richte die Grundlinie an einem Schenkel aus. Wähle die Skala, die an diesem Schenkel bei 0^\circ beginnt. Lies dort ab, wo der zweite Schenkel die Skala trifft. Prüfe die Winkelart: Ein sichtbar spitzer Winkel muss beispielsweise kleiner als 90^\circ sein. Bei einem überstumpfen Winkel misst du mit einem gewöhnlichen Geodreieck zunächst den kleineren Restwinkel. Beträgt dieser zum Beispiel 80^\circ, dann ist der markierte überstumpfe Winkel 360^\circ-80^\circ=280^\circ. Einen Winkel zeichnen: So zeichnest du beispielsweise einen Winkel von 153^\circ: Zeichne einen ersten Schenkel und markiere seinen Anfang als Scheitelpunkt. Lege Mittelpunkt und Grundlinie des Geodreiecks passend an. Beginne auf der Skala, die am ersten Schenkel 0^\circ zeigt. Setze bei 153^\circ eine Markierung. Zeichne vom Scheitelpunkt durch die Markierung den zweiten Schenkel. Kennzeichne den gemeinten Winkel mit einem Kreisbogen. Übung: selbst messen und zeichnen: Zeichne freihändig einen spitzen und einen stumpfen Winkel. Schätze zuerst die Größe beider Winkel. Miss anschließend beide Winkel mit dem Geodreieck und notiere die Ergebnisse. Zeichne danach einen Winkel von 153^\circ und miss ihn zur Kontrolle erneut. Selbstkontrolle: Der spitze Winkel muss zwischen 0^\circ und 90^\circ liegen, der stumpfe zwischen 90^\circ und 180^\circ. Bei deiner letzten Zeichnung sollte die Kontrollmessung ungefähr 153^\circ ergeben. Weicht sie deutlich ab, prüfe Mittelpunkt, Grundlinie und verwendete Skala.

Beim Schnitt zweier Geraden entstehen vier Winkel. Ihre Lage entscheidet darüber, welche Beziehung du verwenden darfst. Parallele Geraden mit einer Schnittgeraden: Schneidet eine dritte Gerade zwei parallele Geraden, gelten weitere Beziehungen: Stufenwinkel liegen an den beiden Schnittpunkten in entsprechender Lage. Sie sind gleich groß. Wechselwinkel liegen an unterschiedlichen Schnittpunkten auf entgegengesetzten Seiten der Schnittgeraden. Zusammengehörige Wechselwinkel sind bei parallelen Geraden gleich groß. Benachbarte Nebenwinkel ergänzen sich weiterhin zu 180^\circ. Die Gleichheit von Stufen- und Wechselwinkeln setzt parallele Geraden voraus. Ohne diese Bedingung darfst du die Sätze nicht anwenden.