Volumen eines Quaders berechnen und verstehen

Stell dir einen Karton vor, den du lückenlos mit gleich großen Würfeln füllst. Die Anzahl dieser Einheitswürfel beschreibt den Rauminhalt des Kartons. Dieser Rauminhalt heißt Volumen und wird mit dem Formelzeichen V bezeichnet. Ein Würfel mit einer Kantenlänge von 1\,\mathrm{cm} hat das Volumen 1\,\mathrm{cm^3}. Ein Quader mit 120\,\mathrm{cm^3} bietet daher so viel Raum wie 120 solcher Einheitswürfel. Fläche und Volumen sind nicht dasselbe: Eine Fläche misst du in Quadrateinheiten wie \mathrm{cm^2}. Ein Volumen misst du in Kubikeinheiten wie \mathrm{cm^3}.

Ein rechtwinkliger Quader hat sechs rechteckige Flächen. Für sein Volumen brauchst du drei senkrecht zueinander verlaufende Kantenlängen: Länge a, Breite b und Höhe c. Zuerst betrachtest du die rechteckige Grundfläche. Ihr Flächeninhalt ist: G = a \cdot b Drückst du alle Kanten in derselben Längeneinheit aus, geben ihre Maßzahlen an, wie viele Einheitswürfel in jede Richtung passen. Eine Schicht enthält das Produkt aus Länge und Breite. Die Anzahl der Schichten entspricht der Höhe. Deshalb gilt: V = G \cdot c = a \cdot b \cdot c So gehst du vor: Notiere Länge, Breite und Höhe mit ihren Einheiten. Wandle die Längen bei Bedarf in dieselbe Einheit um. Setze sie in V = a \cdot b \cdot c ein und multipliziere. Schreibe das Ergebnis mit der passenden Kubikeinheit auf und prüfe, ob es plausibel ist.

Du darfst Längen mit unterschiedlichen Einheiten nicht direkt multiplizieren. Wandle zuerst jede Kante in dieselbe Längeneinheit um. Für Flüssigkeiten sind diese Beziehungen besonders nützlich: 1\,\mathrm{dm^3} = 1\,\mathrm{l}, 1\,\mathrm{cm^3} = 1\,\mathrm{ml} und 1\,\mathrm{m^3} = 1000\,\mathrm{l}.

Kennst du das Volumen und zwei Kanten, stellst du die Volumenformel um. Teile das Volumen durch das Produkt der beiden bekannten Kanten. Aus V = a \cdot b \cdot c folgt für die Höhe: c = \frac{V}{a \cdot b} Kennst du nur das Volumen und die Höhe, kannst du die Grundfläche bestimmen: G = \frac{V}{c} Aus einer bekannten Grundfläche lassen sich Länge und Breite jedoch nicht immer einzeln bestimmen. Für G = 10\,\mathrm{m^2} wären zum Beispiel 2\,\mathrm{m} \cdot 5\,\mathrm{m} oder 1\,\mathrm{m} \cdot 10\,\mathrm{m} möglich.